Кездейсоқ шамалар үлестірулерінің негізгі заңдары Биномиалдық үлестіру

шартынан анықталады.

Егер бүтін сан болса, онда m-нің және екі мәндерінде ықтималдық максимум болады;

егер болса, онда ‑де ықтималдық максимум болады;

1. 
   уақыт ішінде радиоактивті заттың ыдырауларының саны.
   
2. 
   уақыт ішінде ауданы -ке тең бетке түсетін элементар ғарыштық бөліктердің саны.
   
3. 
   уақыт ішінде телефон станциясында сөйлесулерге тапсырыстар саны.
   

Алынған өрнектегі қосынды exp экспонентаның қатарға жіктелуі, сондықтан туындатқыш функция тең:

Сонда Пуассон үлестіру үшін туындатқыш функциясы:

болып жазылады.

Әрі қарай, (5.2.2)-(5.2.4) туындатқыш функциясы қасиеттеріне сәйкес, аламыз:

Сонымен, аламыз:

Осы негізде Пуассон үлестіруін басқаша сирек құбылыстар заңы деп те атайды ().

(5.3.6) тағайындауының дұрыстығын дәлелдейміз, ол үшін пара-метрлерімен биномдық заң бойынша үлестірілген математикалық күтімі:

ал әрбір тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы

мәндеріне тең X кездейсоқ шамасын қарастырамыз.

Осы өрнекті болса шекке көшу ыңғайлы болу үшін мынаған түрлендіреміз:

Бірінші бөлшек және соңғы бөлшектің бөлімі болса және ақырлы -де бірге тең екендігі қарапайым белгілі. Соңғы бөлшектің алымының шегін exp мәніне тең болатындай түрлендіруге болады:

Демек, (5.3.7) өрнегінің болғандағы шегі тең:

(5.3.8) нәтижесінде (5.3.6) тағайындауының дұрыстығы расталды – Пуассон үлестіруі биномдық үлестіру үшін шектік болады. Есептеулердің ықшамдалуы тұрғысынан биномдық үлестірудің пуассондық жуықтауы дұрыстығы жөніндегі мысалды қарастырамыз.

5.3.1-мысал. Аппаратураның құрамында элементтер бар. Элементтер бір-бірінен тәуелсіз ықтималдықпен істен шығады. Ең болмағанда, бір элемент тоқтаса, аппаратура істен шығады. Аппаратураның істен шығуының ықтималдығы қандай?

Шешуі. Істен шыққан элементтердің саны – X кездейсоқ шамасы. Осы шама 5000, параметрлерімен биномдық заң бойынша үлестірілген. Аппаратураның істен шығуын А деп белгілейміз. А оқиғасы орындалады, ең болмағанда, бір элемент істен шықса,

Элементтер саны үлкен және ықтималдық аз болғандықтан, Пуассон үлестіруіне ,001=5 параметрімен көшеміз. ықтималдығы (5.3.8) формуласымен анықталады. Ізделінді ықтималдық қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы-на тең: