§ 8. Формула периода математического маятника

Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

25

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не

слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем

же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком

велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме

к гармоническому (§ 5) и период математического маятника

не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется

изохронизмом (от греческих слов «изос» — равный, «хронос» —

время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы

при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском

соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули

при зажигании. В течение богослужения размахи качаний посте-

пенно затухали (§ 11), т. е. амплитуда колебаний уменьшалась,

но период оставался одним и тем же. В качестве указателя

времени Галилей пользовался собственным пульсом.

Выведем теперь формулу для периода колебаний математиче-

ского маятника.

Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б)

При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге BA

(рис. 16, а) под действием возвращающей силы

P

1

, которая меня-

ется при движении. Расчет движения тела под действием непо-

стоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения

поступим следующим образом.

26

Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

Заставим маятник совершать не колебание в одной плоско-

сти, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности

(рис. 16, б). Это движение может быть получено в результате

сложения двух независимых колебаний: одного — по-прежнему

в плоскости рисунка и другого — в перпендикулярной плоскости.

Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы,

так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой

другой. Следовательно, и период сложного движения — обра-

щения маятника по конусу — будет тот же, что и период ка-

чания в одной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстриро-

вать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника

и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому —

вращение по конусу.

Но период обращения «конического» маятника равен длине

описываемой грузом окружности, деленной на скорость:

T =

2

πr

v

.

Если угол отклонения от вертикали

н е в е л и к

(малые

амплитуды!), то можно считать, что возвращающая сила

P

1

направлена по радиусу окружности BC, т. е. равна центростре-

мительной силе:

P

1

=

mv

2

r

.

С другой стороны, из подобия треугольников OBC и DBE

следует, что BE : BD = CB : OB. Так как OB = l, CB = r,

BE = P

1

, BD = P = mg, то отсюда

P

1

=

r

· mg

l

.

Приравняв оба выражения P

1

друг другу, мы получаем для

скорости обращения

v = r



g

l

.

Наконец, подставив это в выражение периода T , находим

T = 2π



l

g

.

Итак, период математического маятника зависит только

от ускорения свободного падения g и от длины маятника l,

т. е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза.

Из полученной формулы следует, что период маятника не

зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она

Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

27

достаточно мала). Другими словами, мы получили путем

расчета те основные законы, которые были установлены ранее

из наблюдений.

Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет

установить к о л и ч е с т в е н н у ю зависимость между перио-

дом маятника, его длиной и ускорением свободного падения.

Период математического маятника пропорционален корню

квадратному из отношения длины маятника к ускорению сво-

бодного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2π.

На зависимости периода маятника от ускорения свободного

падения основан очень точный способ определения этого ускоре-

ния. Измерив длину маятника l и определив из большого числа

колебаний период T , мы можем вычислить с помощью получен-

ной формулы g. Этот способ широко используется на практике.

Известно (см. том I, § 53), что ускорение свободного падения

зависит от географической широты места (на полюсе

g =

9,83 м/с

2

,

а на экваторе

g =

9,78 м/с

2

). Наблюдения над периодом качаний

некоторого эталонного маятника позволяют изучить распределение

ускорения свободного падения по широте. Метод этот настолько то-

чен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия

в значении

g

на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной

параллели значение

g

в разных точках земной поверхности различно.

Эти а н о м а л и и в распределении ускорения свободного падения

связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются

для изучения распределения плотности, в частности для обнаружения

залегания в толще земной коры каких-либо полезных ископаемых.

Обширные г р а в и м е т р и ч е с к и е измерения, позволившие судить

о залегании плотных масс, выли выполнены в СССР в области так

называемой Курской магнитной аномалии (см. том II, § 130) под руко-

водством советского физика Петра Петровича Лазарева. В соединении

с данными об аномалии земного магнитного поля эти гравиметрические

данные позволили установить распределение залегания железных масс,

обусловливающих Курскую магнитную и гравитационную аномалии.

жүктеу/скачать 6,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: