Теорема: Егер Е жиыны өлшемді бойынша =>

m(CE)= m^*(CE)= m_*(CE)

Берілуі бойынша Е жиыны өлшенді. Е жиынының ішкі жиынның анықтамасы бойынша m_*(E) =(b-a)- m^*(CE)

Бұдан m^*(CE)=(b-a)- m_*(E)

m_*(CE)=(b-a)- m^*(E)

m^*(CE)= m_*(CE) өлшемді

Мысал (W 2540, Давыров)

Айталық, f тұйық жиын берілсін [a, b] осы f жиынын ішінде ұстайтын ең кіші кесінді болсын. Осы f тұйық жиынына іргелес интервалдар системасын _{1, 2,}..., _n.. S деп белгілейік. Мұндай интервалдар системасының саны шекті не есепті болса. Сонда m(S)=m(). -, , …, интервалдар системасының ұзындығын береді. Ендеше, f=[a, b] CS болғандықтан, өлшемді болады. Себебі S өлшемді болғандықтан, оның толықтауыш С-та өлшемді және оның өлшемі m(F)=(b-a)-m(S)

Бұдан кез келген шектелген тұйық жиын өлшемді болады. Дербес жағдайда жетілген жиын да өлшемді.

Теорема: (Е жиынының өлшемді болуының қажетті және жеткіліктілігі туралы).

Е жиыны өлшемді болуы үшін оны алдын ала берілген кез келген f >0 саны бойынша, қажетті және жеткілікті шарты мына түрде өрнектеледі: E=Sv M₁/M₂ мұндпғы, S-қа қиылыспайтын саны шекті интервалдар системасы А М₁ М₂ сыртқы өлшемдері. кіші болатын кез келген жиындар. Осы шарттар орындалғанда Е жиынның өлшемі үшін әруақытта

m()-