3. Төменгі және жоғары интегралдар
Риман интегралы
Дарбудың төменгі және жоғары қосындысының шектері Дарбу теоремасы бойынша бар болады. Міне, осы шектерді [а;в] шектелген –ң жоғарғы және төменгі интегралы деп атаймыз және былай белгілейміз:
Егер осы интегралдар беттессе, [а;в] тең болса, онда [а;в] Риман бойынша интегралданады деп атаймыз, ал оның ортақ мәнін функцияның мәндерімен белгілейміз.
Егер [а;в] шектелген функциясы үшін Дарбу қосындысынан басқа, тағы да , онда әруақытта
теңсіздігі орындалады.
интегралдық қосындының шегі –ге тең болады, яғни .
2-ші жағынан интегралдық –ң шегі болса, ол шек [а;в] майда бөліктерге бөлуге элементар кесінділерден нүктесін таңдап алуға тәуелсіз болғандықтан, онда бұл дегеніміз жоғарғы теңсіздікті ескерсек: теңсіздігі орынды, себебі -ң кесіндідегі дәл төменгі және жоғары шекаралықтары. Ал осы жиындағы –ң кез-келген мәні, ал бұл интегралдық қосындының шегі бірдей уақытта Дарбудың төменгі және жоғары қосындылары:
, яғни Риман бойынша . Осы айтылғандардың барлығы Риман интегралдарын тек Дарбу қосындысының ғана емес, оның интегралдық қосындысының шегін көрсетеді. Риман интегралының мұндай анықтамасын енгізуші Коши және ол ұздіксіз функциялар ұшін қарастырған, ол үзілісті нүктелер үшін енгізген – Риман. Егер шектелмесе, онда ол Дарбудың мағынасы болмайды, құрылған интегралдық қосындының шегі болмайды, олай болса –ң Риман мағынасында шегі жоқ.
Достарыңызбен бөлісу: |
