| 9.3. Фурье қатары. Фурбье коэффициенттері.
Бізге аралығында анықталған периоды болатын функциясы берілсін. Енді функциясы бірқалыпты жинақталатын тригонометриялық қатарға жіктелсін, яғни (35) болсын.
Қатар (35) бірқалыпты жинақталады деп жорығандықтан, оны аралығында мүшелеп интегралдауға болады, демек Сонда бұл теңдіктен ():
немесе
(36)
Ал қалған коэффициенттерін анықтау үшін (35) қатардың екі жағын өрнегіне көбейтеміз (одан қатардың бірқалыпты жинақтылығы бұзылмайды)-де - мен аралығында интегралдаймыз:
Бұл теңдіктің оң жағында тек болғандағы интегралынан басқаларының барлығы да нөлге айналады, яғни бұдан немесе
(37)
Енді (35) қатардың екі жағын өрнегіне көбейтіп аралығында интегралдасақ, онда оң жағында тек болғандағы интегралдан басқаларының барлығы нөлге айналады, сондықтан
(38)
болып анықталады.
(36), (37), (38) формулаларымен анықталған коэффициенттерді Фурье коэффициенттері деп, ал осындай коэффициенттері бар
(39)
қатарын функциясының Фурье қатары деп атайды.
Бұл формулалардан периоды -ге тең кез келген интегралданатын функциясына сәйкес Фурье қатарын құруға болады деген маңызды қорытынды шығады. Ал бірақ осы Фурье қатары әрқашанда функциясына бірқалыпты жинақталады деген қорытынды шықпайды.
Дирихле теоремасы. Егер функциясы периоды -ге тең кесіндісінде абсолют интегралданатын үзік-жатық функция болса, оның Фурье қатары аралығының барлық нүктелері үшін жинақталады, сонымен бірге х-үзіліс нүктесі болмаса, қатардың қосындысы функциясына, ал -үзіліс нүктесі болса, онда -ке тең болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
