Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар
жүктеу/скачать 2,71 Mb.
|
умк анализ фунд.сұрақтары
| 4. Коши теоремасы. үздіксіз функциядан алынған интегралдың анықтамасынан оның мәнінің, жалпы айтқанда, тек қана интеграл астындағы функцияға ғана емес, интегралдау жолы Г-ге де байланысты болатыны шығыды. Басқаша айтқанда, мен Z нүктелерін бір байланысты G облысына жататын екі түрлі Г және сызықтарымен қоса отырып, интегралын осы сызықтардың әрқайсысының бойымен есептеп, жалпы айтқанда, біз әр түрлі сандар аламыз. Осыдан: функциясы интегралының мәні интегралдау жолына байланыссыз боп, тек осы жолдың басқы және соңғы нүктелерінің орнымен ғана анықталатын болуы үшін ол қандай шартты қанағаттандыру керек? Деген сұрақ тууы табиғи нәрсе. Нақты қисық сызықты интегралдағы жағдай сияқты амалдарды қолдана отырып , интегралдың интегралдау жолына байланыссыз болу шарты жөніндегі осы есебіміз кез келген тұйық контур бойынша алынған берілген интегралдың нольге тең болу шартын табу есебімен пара-пар екенін оңай көрсетуге болады. Комплекс айнымалы бойынша интеграл екі нақты қисық сызықты интеграл арқылы өрнектелетін болғандықтан, бұл есептің шешуін нақты қисық сызықты интегралдардың сәйкес есебімен G облысында функциясы аналитикалық болады деп және осы облыстың әр нүктесінде үздіксіз туындысы бар деп жориық. Осыдан u және v функцияларының G облысында өзінің дербес туындыларымен қоса үздіксіз екендігі және теңдеуін қанағаттандыратындығы шығады. Г арқылы G облысында жататын кез келген тұйық контурды белгілеп, (3) формуладан төмендегі теңдік тің шығатынын ескерсек,
(11)
белгілі теореманың негізінде мынаны аламыз: (12) өйткені және (12) және теңдіктер салдарынан (11) формула төмендегідей түрге келеді: (13) Cонымен, егер, функциясы бір байланысты G облысында бір мәнді функция болса, осы облыстың әрбір нүктесінде оның үздіксіз туындысы болса, онда G облысында жататын кез келген тұйық контур бойымен осы функциядан алынған интеграл нольге тең болатынын дәлелдейік. Бұл ұсыныс аналитикалық функциялар теориясындағы ен негізгісі болып есептеліп, Коши теоремасы деп аталады. Жоғарыда айтылған Коши теоремасының дәледемесінде функциясының туындысын үздіксіз деп ұйғару ен негізгісі. Алайда бұл шектеме осы теореманың дұрыс болуы үшін қажетті шарт емес, біз G облысында функциясының тек қана шектеулі туындысы бар деп ұйғарып, Коши теоремасының басқаша дәлелдемесін беретін болмыз. Сонымен, G облысында аналитикалық болатын кез келген функциясы үшін біз Коши тұжырымын тағайындаймыз. жүктеу/скачать 2,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|