Лекции по теории управления : учебное пособие

67

Общее решение неоднородного уравнения является суммой частного 
решения и решения (8.27) однородного уравнения: 
0
0
0
( )
(
)
(
)
( )
t
t
t
t
t
t
u
d

 





x
Ф
x
Ф
B
. 
(8.35) 
Подставляя полученное общее решение в уравнение наблюдения, окон-
чательно получаем 
0
0
0
( )
(
)
(
)
( )
( )
t
T
T
t
y t
t
t
t
u
d
u t

 






C Ф
x
C Ф
B
D
. 
(8.36) 
8.7. Построение матрицы переходных состояний 
Вначале получим аналог матрицы переходных состояний для случая 
скалярных уравнений 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x t
ax t
bu t ,
y t = cx t
du t



(8.37) 
при 
0
0
( )
x t
x

. 
Соответствующую однородную систему можно представить в виде
( )
( )
d
x t
ax t
dt

(8.38) 
или
1
dx
a dt
x
 
. 
Интегрируя обе части последнего равенства в пределах 
 
0
,
t t
получаем:
0
0
0
( )
ln ( ) ln ( )
ln
(
)
( )
x t
x t
x t
a t
t
x t


  
, 
откуда


0
0
( )
( )
a t t
x t
x t e


. 
(8.39) 
Сравнивая (8.39) с (8.27) можно заметить, что в данном случае для си-
стемы первого порядка скалярный аналог матрицы переходных состояний


0
0
(
)
a t t
Ф t t
e



. 
(8.40) 
По аналогии с (8.39), (8.40) для многомерной системы запишем реше-
ние в виде 

68 


0
0
0
0
( )
(
)
t t
t
t
t
e




A
x
Ф
x
x
, 
(8.41) 
где 


0
0
(
)
t t
t
t
e



A
Ф
– представляется в виде разложения матричной экспо-
ненты в ряд: 


0
2
2
3
3
0
0
0
0
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
...
2!
3!
t t
t
t
e
t
t
t
t
t
t



 






A
Ф
E A
A
A
. (8.42) 
С учетом (8.41) общее решение линейного дифференциального уравне-
ния (8.36) запишется в виде 




0
0
1
0
( )
( )
( )
( )
( )
t
t t
T
T
t
y t
e
t
u
d
u t

 






A
C
x
C X
X
B
D
. 
(8.43) 
Матрица 


0
0
(
)
t t
t
t
e



A
Ф
обладает всеми декларированными ранее 
свойствами матрицы переходных состояний: 
1. 




0
0
0
0
(
)
(
)
t t
t t
d
d
t
t
e
e
t
t
dt
dt











A
A
Ф
A
AФ
. 
2. 


0
0
0
0
(
)
t
t
t
t
e




A
Ф
E
. 
3. 






1
0
2
1
2
0
1
0
2
1
2
0
(
)
(
)
(
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
t
t









A
A
A
Ф
Ф
Ф
. 
4. 




0
0
0
1
1
0
0
(
)
( )
( )
t t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e e
e













A
A
A
A
A
Ф
X
X
Подчеркнем, что 
( )
t
t
e

A
X
– фундаментальная матрица, удовлетворя-
ющая однородному уравнению (8.26). 

69

 
 
 
Лекция 9. ВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ 
9.1. Описание ЦАС в виде свертки решетчатых функций 
В настоящее время техническая реализация САУ преимущественно 
осуществляется на основе компьютерных систем. Поэтому в настоящем раз-
деле мы сконцентрируем внимание на изучении 
цифровых автоматических 
систем
(ЦАС), в которых алгоритмы управления реализуются в виде вычис-
лительных алгоритмов на 
бортовых цифровых вычислительных машинах
(БЦВМ). Цифровые системы характеризуются квантованием сигнала по 
времени, запаздыванием и квантованием по уровню. Таким образом, ЦАС 
является специальным классом нелинейной импульсной системы. 
На этапе предварительного выбора структуры и алгоритмов управле-
ния используется линейная математическая модель ЦАС – 
линейная импуль-
сная система
. Эта модель получается из исходной путем линеаризации 
уравнений движения объекта и исполнительных органов, а также путем пре-
небрежения эффектом квантования сигналов по уровню в устройствах 
ввода-вывода БЦВМ. 
Общая схема ЦАС представляется в виде, показанном на рис. 9.1 
Рис. 9.1. Общая схема ЦАС
Здесь 
– идеальный ключ, 
Ф
– формирователь импульса, а 
,
( )
н ч
W
p
– 
передаточная функция объекта, исполнительных и управляющих органов. 
Ключ преобразует входную (задающее воздействие 
( )
g t
) в решетчатую 
функцию: 

70 
0
0
0
(
)
( ) (
)
n
x nT
x t
t
nT






, 
(9.1) 
где
 
,
при
,
0,
при
.
t
nT
t
t
nT




 


(9.2) 
Таким образом, идеальный ключ преобразует задающее воздействие 
( )
x t
в последовательность идеальных импульсов. 
Формирователь импульса 
Ф
может 
формировать импульсы различной дли-
тельности в пределах интервала дискре-
тизации 
T
. Мы ограничимся рассмотре-
нием модели формирователя импульса, 
наиболее часто используемого в ЦАС – в 
виде экстраполятора нулевого порядка 
(фиксатора).
При подаче на вход фиксатора

-функции на его выходе возникает еди-
ничный прямоугольный импульс длитель-
ности 
0
T
(рис. 9.2). Этот импульс по опре-
делению является весовой функцией 
фиксатора и представляется в виде разно-
сти двух единичных ступенчатых функций: 
0
( ) 1( ) 1(
)
ф
w t
t
t
T



. 
(9.3) 
Фиксатор и непрерывную часть системы обычно объединяют в общую, 
так называемую, приведенную непрерывную часть системы. Весовая функ-
ция приведенной части системы может быть представлена как свертка весо-
вой функции 
( )
ф
w t
с весовой функцией 
( )
нч
w
t
: 
0
( )
(
)
( )
t
нч
ф
w t
w
t
w
d

 



. 
(9.4) 
Если идеальный импульс приложен к приведенной непрерывной части 
в момент 
t = mT
0
, где 
m
– целое число, то ее реакция на этот импульс будет 
0
0
0
(
),
,
( )
0,
.
w t
mT
при t mT
w t
при t mT



 


(9.5) 
Рис. 9.2. Формирование весовой 
функции фиксатора

71

Реакцию 
( )
y t
непрерывной части на последовательность идеальных 
импульсов 
 
0
x nT
найдем следующим образом. В интервале 
0
0
t
T
 
( )
(0) ( )
y t
x
w t

. 
(9.6) 
В интервале 
0
0
2
T
t
T
 
 
0
0
( )
(0) ( )
(
)
y t
x
w t
x T w t
T



.
(9.7) 
В интервале 
0
0
2
3
T
t
T
 
 
 
0
0
0
0
( )
(0) ( )
(
)
2
(
2 )
y t
x
w t
x T w t
T
x T w t
T





.
(9.8) 
Продолжая подобным образом для произвольного 
n
в интервале 
0
0
(
1)
nT
t
n
T
 

получаем
 
0
0
0
( )
(
)
n
m
y t
x mT w t
mT




. 
(9.9) 
В непрерывных переменных 
( )
y t
и 
0
(
)
w t
mT

выделим только дис-
кретные моменты времени, введя фиктивный ключ: 
0
t
nT

(рис 9.3).
Рис. 9.3. Схема с фиктивным ключом 
Тогда
 
  

0
0
0
0
(
)
n
m
y nT
x mT w n
m T




. 
(9.10) 
Часто масштаб времени выбирают так, что 
Т
0
= 1, а уравнение разо-
мкнутой системы во временной области записывают в виде 
 
  

0
n
m
y n
x m w n
m




. 
(9.11) 
Соотношения (9.10), (9.11) являются сверткой решетчатых функций. 

72 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: