Описание импульсных систем

79

2. Сдвиг во временной области: 




0
( )
n
Z f t
nT
z
F z




. 
3. Теорема о начальном значении. Если
 
( )
f t
F z

и 
lim ( )
z
F z

 
, то 
0
lim ( ) lim ( )
z
t
F z
f t



. 
4. Теорема о конечном значении. Если нет полюсов на окружности 
единичного радиуса комплексной 
z
-плоскости, то 
1
lim(
1) ( ) lim ( )
z
t
z
F z
f t




. 
10.3. Связь дискретного преобразования Лапласа
с Z-преобразованием 
Нетрудно заметить, что (10.1) совпадает с (10.6) при замене
q
z
e

. 
(10.8) 
И наоборот, если известно изображение 
( )
F q
некоторой решетчатой 
функции, то соответствующее изображение 
( )
F z
может быть найдено с по-
мощью замены комплексной переменной 
q
по формуле 
ln
q
z

. Таким об-
разом принципиальной разницы между 
D
-преобразованием и Z-преобра-
зованием не существует. Опираясь на эту связь для системы, показанной на 
рис. 10.2, с учетом (9.16) можно записать 
Z-передаточную функцию
: 
 
1
0
1
1
1
0
1
1
( )
...
( )
...
m
m
m
m
n
n
n
n
Y z
b z
b z
b
z
b
W z
X z
a z
a z
a
z
a





 




 

. 
(10.9) 
Замена (10.8) отображает основную полосу на всю комплексную плос-
кость 
z
. При этом отрезок мнимой оси 


,
 

отображается в окружность 
единичного радиуса (рис. 10.3) 
Рис. 10.3. Отображение 
q
-плоскости на z-плоскость 

80 
Часто 
D
-преобразование и 
Z
-преобразование считают идентичными и 
различающимися обозначениями и формами записи дискретного преобра-
зования Лапласа. Однако, как видно из рис. 10.3. свойства комплексных ар-
гументов существенно различны. 
10.4. Частотные характеристики импульсных систем 
Поскольку дискретное преобразование Лапласа является обычным пре-
образованием Лапласа решетчатой функции в определении 
D
-преобра-
зования (10.1) можно произвести формальную замену 
q
j


, тогда при
Т
0 
= 1
 
 
0
0
(
)
( )
qn
j n
q j
q j
n
n
F j
F q
e
f n
e
f n

















. 
(10.10) 
Частотную характеристику импульсной системы можно получить 
также из Z-преобразования с учетом связи 
q
j
z
e
e



, действительно 
 
 
0
0
0
(
)
( )
j
j
n
j n
z e
z e
n
n
F j
F z
f nT z
e
f n

















. 
(10.11) 
Аналогично частотная передаточная функция импульсной системы 
имеет вид
 
0
(
)
j n
n
W j
w n e







. 
(10.12) 
В отличие от непрерывных систем реакция импульсной цепи на гар-
монический сигнал может быть не гармонической и даже не периодиче-
ской, тем не менее частотная характеристика в ряде случаев оказывается 
полезной.
Свойства частотных характеристик импульсных систем. 
1. 
(
)
W j

является 
периодической 
с 
периодом 
0
2
T

, 
т.к. 
0
2
k
j
j
n
T
j n
e
e













2. 
0
lim
(
)
Re
W j




, 
0
lim
(
)
Re
T
W j





. 
3. 
( ),
A

( )
U

– четные, а фазовая частотная характеристика нечетная. 

81

10.5. Псевдочастотные характеристики импульсных систем 
Переход к псевдочастотным характеристикам осуществляется с целью 
использовать методы анализа устойчивости линейных непрерывных систем. 
Для этого надо отобразить внутренность круга единичного радиуса 
Z
-плос-
кости в левую полуплоскость комплексного аргумента (рис. 10.4). Это осу-
ществляется формальной заменой: 
1
1
w
z
w



, 
(10.13) 
т.е.
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
cos
1
sin
sin
1
1
cos
1
sin
1 cos
j T
j T
z
e
T
j
T
T
w
j
j
z
e
T
j
T
T











 







 

, (10.14) 
где 


0
/ 2
tg
T



(по формуле половинного угла 
( / 2)
sin
/ (1 cos )
tg





. 
Рис 10.4. Переход от Z-плоскости в левую полуплоскость 
w
Используется также модифицированное 
w
-преобразование: 
0
0
1
/ 1
2
2
T
T
z
w
w

 

 


 


 

; 
(10.15) 
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
2
1
1
2
j T
j T
z
e
T
w
j tg
j
j
T z
T e
T
T















. 
(10.16) 
Здесь 
0
0
2
2
T
tg
T



– абсолютная псевдочастота.
Из последнего равенства следует, что 
 

, т.к. при малом интервале 
дискретности БЦВМ 
0
T
. Следует иметь в виду, выполнение 
этого примерного равенства зависит также от значения круговой частоты 
ω
. 
0
0
2
2
T
T
tg




82 
Следовательно, выбор (малого) интервала дискретности 
0
T
должен осу-
ществляться с учетом максимального значения 

из диапазона частот, в ко-
тором функционирует САУ.
10.6. Получение Z-передаточной функции
по уравнению состояний 
С использованием теоремы сдвига во временной области 
Z
-изобра-
жение уравнений состояния (9.32) представляется в виде 
( )
( )
( )
z z
z
u z


x
Фx
Q
( )
( )
T
y z
z

C x
. 
(10.17) 
(далее для краткости будем обозначать 
). Уравне-
ние состояния в (10.17) можно записать в виде 
(
)
z
u


E
Ф x Q
, откуда 
1
(
)
(
)
det(
)
z
z
u
u
z







E
Ф Q
x
E
Ф Q
E
Ф
, 
(10.18) 
где (
)
z

E
Ф
– присоединенная матрица, составленная из алгебраических 
дополнений со своим знаком. Подставляя 
x
из (10.18) в уравнение наблю-
дений системы (10.17) окончательно получаем 
 
 
(
)
det(
)
T
z
y z =
u z
z



C E
Ф Q
E
Ф
, 
(10.19) 
где 
 
 
 
(
)
det(
)
T
y z
z
W z
z
u z





C E
Ф Q
E
Ф
– 
Z
-передаточная функция системы. 
10.7. Структурные преобразования импульсных систем 
Правила преобразования структурных схем импульсных систем имеют 
ряд существенных отличий от структурных преобразований непрерывных 
систем. Это связано с количе-
ством и местом включения им-
пульсных элементов. Рассмот-
рим ряд характерных случаев. 
( )
, ( )
, ( )
z
u z
u y z
y



x
x
Рис. 10.5. Система с ключом на входе

83

Разомкнутая система с ключом на входе
. Из структурной схемы, пред-
ставленной на рис. 10.5, непосредственно следует 
 
   
Y z
U z W z

, 
(10.20) 
где 


( )
( )
W z
Z w t

. 
Последовательное соединение звеньев, разделенных ключом. 
Соответ-
ствующая структурная схема представлена на рис. 10.6. Для этого случая 
можно записать 
 
   
 
   
1
2
,
R z
U z W z
Y z
R z W z


, 
(10.21) 
откуда
 
     
1
2
Y z
U z W z W z

или
 
   
1
2
( )
/
( )
W z
Y z
U z
W z W z


, 
(10.22) 
т.е. 
Z
-передаточная функция системы равна произведению 
Z
-передаточных 
функций звеньев. 
Рис. 10.6. Последовательное соединение звеньев, разделенных ключом 
 
Последовательное соединение звеньев, не разделенных ключом
. Струк-
турная схема представлена на рис. 10.7, откуда следует, что 
 
   
Y z
W z U z

, 
(10.23) 
где 
   


   
1
2
1
2
( )
W z
Z W s W s
W z W z


. 
Рис. 10.7. Последовательное соединение звеньев, не разделенных ключом 
Замкнутая система с корректирующим звеном в обратной связи и пре-
рыванием ошибки
. Структурная схема представлена на рис. 10.8.

84 
Рис. 10.8. Замкнутая система с корректирующим звеном в обратной связи 
Система описывается следующими соотношениями: 
 
   
Y z
W z E z

; 
(10.24) 
 
 
 
   


E z
U z
E z Z W s H s


. 
(10.25) 
В соответствии с (10.25) 
 
 
   


1
U z
E z
Z W s H s


. 
(10.26) 
Подставляя полученное 
Е
(
z
) из (10.26) в (10.24) получаем 
 
 
   


 
1
W z
Y z
U z
Z W s H s



. 
(10.27) 
Замкнутая система с единичной обратной связью и прерыванием 
ошибки
. Соответствующая структурная схема является частным случаем 
схемы, приведенной на рис. 10.8. В данном случае 
 
1
H z

и 
Z
-преобразо-
вание 
 
Y z
выхода 
 
y t
системы определяется как 
 
   
Y z
Ф z U z

, 
(10.28) 
где 
( )
( )
1
( )
W z
Ф z
W z


. 

85


жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: