Описание импульсных систем

73

9.3. Построение векторно-матричных разностных уравнений 
Для простоты в уравнении (9.16) положим 
1
2
0
...
0,
0
m
d
d
d
d

 


и представим его в виде 




 
0
1
n
i
i
x k
n
a x k
i
d u k

  
 

, 
(9.17) 
где 
0
0
/
,
0,
1,
/
i
i
n
n
a
a
a i
n
d
d
a




.
Введем обозначения 
   
1
x k
x k

, 
 

 

2
1
1
1
x k
x k
x k

 

,
, 
 

 

1
1
n
n
x
k
x k
x k
n


 

.
С использованием этих обозначений неоднородное разностное уравне-
ние (9.17) может быть приведено к системе 
n
уравнений первого порядка: 


 


 




 
1
2
2
3
1
0
0
1
,
1
,
,
1
.
n
n
i
i
x k
x k
x k
x k
x k
a x k
i
d u k


 
 
        
 
 

(9.18) 
Систему (9.18) удобно представлять в компактной векторно-матричной 
форме: 


 
 
1
k
k
u k
 

x
Ax
b
, 
(9.19) 
где 
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
n
a
a
a





















A








1
2
0
0
1
0
1
1
,
1
n
x k
x k
k
d
x k



 


 



 


 
 



 


 


 

 


x
b
.
 

 

3
2
1
2
x k
x k
x k

 


74 
Если линейное неоднородное уравнение имеет вид (9.16), его по этой 
же схеме можно привести к форме (9.18). При этом соответствующие ком-
поненты вектора, где 


1
2
, ,...,
T
n
b b
b

b
будут ненулевыми. Уравнение (9.19) 
является представлением модели дискретной системы в пространстве состо-
яний. 
9.4. Решение линейных разностных уравнений 
Запишем однородное уравнение


 
1
k
k
 
x
Ax
, 
(9.20) 
соответствующее неоднородному уравнению (9.18). Если 
 
 
 
 
 
 
1
2
,
,...,
n
k
k
k
x
x
x
(9.21) 
– фундаментальная система решений уравнения (9.20), то общее решение 
векторно-матричного уравнения (9.19) может быть записано в виде 
 
 
   
1
n
i
i
i
k
c
k
k




x
x
x
, 
(9.22) 
где 
c
i
– произвольные постоянные, а 
 
k
x
– какое-либо частное решение си-
стемы (9.19). 
Решение однородного уравнения ищем в виде 
 
k
k
z

x
γ
, 
(9.23) 
где 
γ
– вектор, а 
z
– числа, подлежащие определению. Подставляя (9.23) в 
(9.20) имеем 
1
k
k
z
z


γ
Aγ
или 


0
z


E
A γ
, 
(9.24) 
где 
E
– единичная матрица. Так как 
0

γ
, то из (9.24) следует, что 


det
0
z


E
A
. 
(9.25) 
Уравнение (9.25) называется 
характеристическим уравнением
си-
стемы (9.20). Его решение дает 
n
корней 
i
z
– характеристических чисел мат- 

75

рицы 
A
. Каждому корню 
i
z
соответствует с точностью до постоянного 
множителя вектор 
 
i
γ
, так что 
 
 
( )
i
i
k
i
k
z

x
γ
(9.26) 
и общее решение векторного однородного конечно-разностного уравнения 
может быть записано в виде
 
( )
1
n
i
k
i
i
i
k
c
z



x
γ
. 
(9.27) 
9.5. Построение уравнений импульсных систем
в пространстве состояний 
Для построения линейных дискретных уравнений состояния рассмот-
рим поведение системы на интервале времени 
 
0
, ,
t
t t

0
0
0,
t
t
T


. Если в 
качестве фиксатора используется экстраполятор нулевого порядка, то 
внутри указанного интервала поведение системы описывается векторным 
дифференциальным уравнением (8.6), которое для простейшего случая си-
стемы с одним входом и одним выходом имеет вид 
T
u,
y =
,


x
Ax
B
C x
(9.28) 
где 
x
– 
1
n

-
вектор 
состояния
; 
и, у
– скалярные вход и выход системы;
A
– 
n n

-
матрица, а 
B
, 
C
– 
1
n

-
векторы.
В соответствии с (8.35) общее решение уравнения (9.28) на интервале 
времени 
 
0
, ,
t
t t

0
0
0,
t
t
T


имеет вид 
0
0
0
0
( )
(
)
(
)
( )
T
t
t
t
t
u
d

 





x
Ф
x
Ф
B
, 
(9.29) 
где


0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
,
0,
!
r
t t
r
r
t
t
t
t
e
t
t
T
r










A
Ф
A
(9.30) 
– матрица переходных состояний.
Предполагается, что шаг дискретизации 
0
T
постоянный и используется 
фиксатор в виде экстраполятора нулевого порядка. Поэтому сигнал управ- 

76 
ления на интервале дискретизации БЦВМ также можно считать постоян-
ным. Тогда
 
0
0
(
)
T
T
e

A
Ф
, 
 
0
0
0
( )
T
T
d
 


 






Q
Ф
B
(9.31) 
– постоянные 
n n

-
матрицы, зависящие от 
0
T
, как от параметра. Поскольку 
B
1
n

- 
вектор, то 
0
(
)
T
Q
также вектор. Таким образом можно окончательно 
записать
0
0
[
1]
( ) [ ]
( ) ( ),
k
T
k
T u k
 

x
Ф
x
Q
 
 
[ ].
T
y k =
k
k
C
x
(9.32) 
Уравнение (9.32) представляет собой рекуррентное соотношение для 
определения вектора состояния объекта в момент времени 
1
k

по значе-
ниям вектора состояния и сигнала управления в момент времени 
k
. Матрица 
переходных состояний линейной дискретной модели объекта 
0
(
)
T
Ф
рас-
сматривается на интервале (
k
, 
1
k

) и обладает теми же свойствами, кото-
рые мы рассмотрели в предыдущем разделе. 

77

 
 
 
Лекция 10. ОПИСАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
В ПРОСТРАНСТВЕ
КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 
10.1. Описание импульсных систем с помощью
дискретного преобразования Лапласа 
Дискретное преобразование Лапласа (
D
-
преобразование
) решетчатой 
функции 
 
f n
определяется как
 
 
 
 
0
( )
qn
n
F q
D f n
e
f n






, 
(10.1) 
где 
q
j


 
– комплексная переменная. 
D
-преобразование решетчатой функции 
 
f n
можно рассматривать 
как обычное преобразование Лапласа функции, состоящей из последова-
тельности смещенных дельта-функций: 
 
 


0
n
g t
f n
t
n






. 
(10.2) 
Применяя к этой функции преобразование Лапласа, на основании 
фильтрующего свойства дельта-функции получим 
 


 
 


 


 
 


0
0
0
0
0
0
.
qt
qt
n
qt
qn
n
n
L g t
g t e
dt
f n
t
n e
dt
f n
t
n e
dt
f n e
D f n



 
























(10.3) 
Непосредственно из определения 
D
-преобразования (10.1) следует, что 
( )
F q
является периодической функцией с периодом 
2

. Действительно для 
любого целого 
k
 
 
(
2
)
0
0
(
2
)
( )
q
jk n
qn
n
n
F q
jk
e
f n
e
f n
F q




 









. 
(10.4) 

78 
Поэтому достаточно изучить свойства 
( )
F q
в любой полосе шириной 2

. Наиболее 
удобна для этого полоса 
Im


 

(рис. 10.1). 
Если ввести фиктивный ключ на выходе 
разомкнутой системы (рис. 9.3) для решетча-
тых функций 
 
x n
, 
 
y n
можно записать дис-
кретные преобразования Лапласа – 
( ),
X q
( )
Y q
. Выше мы показали, что 
D
-преобра-
зование является обычным преобразованием 
Лапласа решетчатых функций. Поэтому по определению имеет место пере-
даточная функция, как отношение изображений по Лапласу выходного и 
входного сигналов системы: 
 


 
1
0
1
1
1
0
1
1
( )
...
( )
...
m
q
mq
q
m
m
n
q
nq
q
n
n
Y q
b e
b e
b e
b
W q
X q
a e
a e
a e
a





 




 

(10.5) 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: