Лекции по теории управления : учебное пособие

61

 
 
 
Лекция 8. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 
8.1. Векторная запись
дифференциальных уравнений систем 
Технику записи векторных уравнений состояния рассмотрим на при-
мере дифференциального уравнения второго порядка: 
2
2
2
2
d y
dy
T
T
y
ku
dt
dt


 
. 
(8.1) 
Введем новые переменные: 
1
y
x

; 
(8.2) 
1
2
dy
dx
x
dt
dt


;
(8.3) 
2
2
1
2
2
2
d y
d x
dx
dt
dt
dt


. 
(8.4) 
С использованием этих обозначений уравнение (8.1) можно записать в 
виде системы 
1
2
2
1
2
2
2
1
,
1
2
,
.
dx
x
dt
dx
k
x
x
u
dt
T
T
T
y
x


 



(8.5) 
Эта система в векторно-матричных обозначениях имеет вид 
;
T
u
y =
,


x
Ax
B
C x
(8.6) 
где 


1
2
,
T
x x

x
,
2
0
1
1
2
T
T












A
,
2
0
k
T









B
, 
 
1,0
T
C =
.

62 
Здесь 
x
– вектор 
состояния
. Первое уравнение в (8.6) называют 
урав-
нением состояния
, а второе – 
уравнением наблюдения
. В данном случае пе-
ременные 
и, у
– скаляры. В общем случае они могут быть векторами. 
8.2. Связь уравнений состояния с передаточными функциями 
Если задана передаточная функция системы, например, в виде 
( )
( )
( )
( )
( )
y p
G p
W p
u p
D p


, 
(8.7) 
можно записать соответствующее дифференциальное уравнение: 
( )
( )
D p y
G p u

. 
(8.8) 
Далее действуя так, как описано выше, можно перейти к уравнениям 
состояния вида (8.6).
Для обратного перехода от уравнений состояния к передаточной функ-
ции представим уравнение состояния в (8.6) в виде 


p
u

E
A x = B
, 
(8.9) 
где 
E
– единичная матрица, а 
p
– оператор дифференцирования. Подста-
вим вектор 


1
p
u


x = E
A
B
из (8.9) в уравнение наблюдения в (8.6): 


1
T
y =
p
u


C E
A
B
. 
(8.10) 
Произведя указанные в (8.10) действия, получим искомую передаточ-
ную функцию. Заметим, что


( )
D p = det
p

E
A
; 
(8.11) 
 


T
G p =
p

C E
A B
, 
(8.12) 
где 


p

E
A
– присоединенная матрица. 
8.3. Фундаментальная система решений 
Переходный процесс в системе, описываемой уравнениями в простран-
стве состояний
u


x
Ax B
; 
(8.13) 

63

T
y = C x,
является их решением при 
1( )
u
t

. Для этого необходимо построить мат-
рицу переходных состояний, которая тесно связана с фундаментальной си-
стемой решений. Для ее построения рассмотрим однородную систему 

x
Ax
. 
(8.14) 
Множество 
S
всех решений 
 
 
t
ξ
системы (8.14) образует линейное 
пространство. Действительно, если 
 
1
t
S

ξ
и 
 
2
t
S

ξ
, то подстановкой в 
(8.14) легко проверить, что 
 
 
1 1
2 2
С
t
С
t
S


ξ
ξ
. Покажем, что в 
S
суще-
ствует 
n
и только 
n
линейно-независимых решений 
   
 
1
2
,
,...,
n
t
t
t
ξ
ξ
ξ
. 
Пусть заданы начальные условия в виде 






1
1
2
2
( )
1,0,...,0
,
( )
0,1,...,0
,
( )
0,0,...,1
.
n
n
t
e
t
e
t
e






ξ
ξ
ξ
(8.15) 
Этим начальным условиям соответствует 
n
решений 
   
 
1
2
,
,...,
n
t
t
t
ξ
ξ
ξ
. 
Если предположить, что они линейно-зависимы, то должны существовать 
n
коэффициентов 
,
1,
i
С i
n

, одновременно не обращающихся в нуль таких, 
что 
 
 
 
 
1 1
2
2
...
0
n
n
t
С
t
С
t
С
t


 

ξ
ξ
ξ
ξ
.
Легко заметить, что 
 
t
S


также является решением (8.14), следова-
тельно 
 
 
 
1 1
0
2
2
0
0
...
0
n
n
С
t
С
t
С
t

 

ξ
ξ
ξ
или 
1 1
2
2
...
0
n
n
С e
С e
С e

 

.
Но это невозможно, т.к. 
1
2
,
,...,
n
e e
e
с – ортогональные орты из (8.15). 
Таким образом, 
n
линейно-независимых решений 
   
 
1
2
,
,...,
n
t
t
t
ξ
ξ
ξ
образуют базис пространства 
S
, а любой элемент 
 
t
S

ξ
представляется в 
виде 

64 
 
 
1
n
i i
i
t
C
t



ξ
ξ
(8.16) 
единственным образом. 
Определение:
Любые 
n
линейно-независимых решений системы 
(8.14), образующих базис пространства решений 
S
, являются 
фундамен-
тальной системой решений
. 
8.4. Фундаментальная матрица 
Совокупность 
n
решений 
   
 
1
2
,
,...,
n
t
t
t
ξ
ξ
ξ
однородной системы 
(8.14) можно представить в виде 
n
×
 n
-матрицы: 


1
2
( )
( ),
( ),...,
( )
n
t
t
t
t

X
ξ
ξ
ξ
. 
(8.17) 
Матрица 
( )
t
X
удовлетворяет своему матричному уравнению (8.14): 
( )
( )
t
t
 
X
A X
. 
(8.18) 
Это легко проверить подставив 
n
векторов из (8.17) в правую часть и их 
производных в левую часть (8.14) в соответствующем порядке. 
Если совокупность решений 
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
t
t
t
ξ
ξ
ξ
является фундаменталь-
ной системой решений, то матрица 
( )
t
X
называется 
фундаментальной
мат-
рицей
. Поскольку фундаментальная система решений образована множе-
ством 
n
линейно-независимых решений, ясно, что 
det ( )
0
t

X
. 
Определение. 
Любая 
n
×
 n
-матрица такая, что 
det ( )
0
t

X
, для которой 
существует 
( )
t
X
при всех 
0
t
t

определяет однородную систему дифферен-
циальных уравнений вида 
( )
( )
t
t

x
Ax
, 
(8.19) 
где 


1
( )
( )
t
t


A
X
X
. 
(8.20) 
Это означает, что фундаментальная матрица для однородного уравне-
ния (8.19) не единственна, т.е. любая матрица 
ˆ ( )
t
X
, определяемая как 
ˆ ( )
( )
t
t


X
X
С
, 
(8.21) 
где 
С
– невырожденная 
n
n

-матрица, является фундаментальной матри-
цей. 

65

8.5. Переходная матрица состояний 
Переходная матрица состояний – это матрица 
0
( , )
t t
Ф
, обладающая 
следующими свойствами:
 
1. 
0
( , )
t t
Ф
удовлетворяет однородному уравнению 
0
0
( , )
( , )
t t
t t
 
Ф
A Ф
. 
2. 
0
0
( , )
t t

Ф
E
. 
Матрица 
0
( , )
t t
Ф
является фундаментальной матрицей для системы 
( )
( )
t
t

x
Ax
. 
(8.22) 
Можно показать, что для начальных условий 
0
0
( )
t

x
x
переходная мат-
рица 
0
( , )
t t
Ф
доставляет единственное решение системы (8.22): 
0
0
( )
( , )
t
t t

x
Ф
x
. 
(8.23) 
Действительно из (8.23) имеем 


0
0
0
0
0
0
( )
( , )
( , )
( , )
( )
d
t
t t
t t
t t
t
dt




 
 


x
Ф
x
Ф
x
A Ф
x
A x
.
Имеет место связь переходной матрицы состояний с фундаментальной 
матрицей. Пусть 
( )
t
X
– фундаментальная матрица: 
( )
( )
t
t
 
X
A X
, 
а 
0
( )
t

X
невырожденная 
n
n

-матрица при любом 
0
t
. Припасовывая век-
торы из (8.23), соответствующие разным 
0
( )
t
x
можно записать 
0
0
( )
( , ) ( )
t
t t
t

X
Ф
X
, 
откуда 
1
0
0
( , )
( )
( )
t t
t
t


Ф
X X
. 
(8.24) 
8.6. Общее решение неоднородной системы 
Рассмотрим теперь более общий случай уравнений состояния
( )
( )
( )
( )
( )
( )
T
t
t
u t ,
y t =
t
u t ,



x
Ax
B
C x
D
. 
(8.25) 
при 
0
0
( )
t

x
x
. 

66 
Решение соответствующей однородной системы
( )
( )
t
t

x
Ax
(8.26) 
имеет вид 
0
0
( )
( , )
t
t t


жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: