Лекции по теории управления : учебное пособие
Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
жүктеу/скачать 3,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Фурсов В.А. Лекции по теории управления 2021
| 5.4. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Приведенные выше критерии требуют либо построения АФЧХ, либо определения корней характеристического уравнения. Для систем высокого порядка это представляет серьезные трудности. Поэтому для анализа устой- чивости используются также алгебраические критерии, не требующие нахождения корней. Рассмотрим критерий Гурвица. Пусть характеристический полином имеет вид 1 0 1 1 ... n n n n D p a p a p a p a . (5.11) Составим из коэффициентов этого многочлена определитель: 1 3 5 0 2 4 6 1 3 5 1 2 0 0 0 0 0 0 0 n n n n a a a a a a a a a a a a a . (5.12) Это так называемая матрица Гурвица. Схема ее формирования проста: на главной диагонали все коэффициенты по возрастанию кроме а 0 . Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до исчерпания и завершается нулями. Вторая строка содержит все четные коэффициенты и также завер- шается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая из второй сдвигом вправо на один элемент. Аналогично сдвигом получаются осталь- ные строки. Критерий Гурвица. Для устойчивости необходимо, чтобы все опреде- лители Гурвица, построенные из диагональных миноров, были положи- тельны: 1 1 2 0, 0, , 0 n a . (5.13) Можно показать, что в общем случае необходимым условием устой- чивости является требование положительности всех коэффициентов урав- нения. Если это требование не выполняется, то система точно неустойчива. Но положительность всех коэффициентов не гарантирует устойчивости. Поэтому далее необходимо применять необходимые и достаточные усло- вия (5.13). |