5.2.3 Эйлержәне Ферма теоремалары {\displaystyle \varphi (n)}(n) сандық функциясын қарастырайық, мұндағы {\displaystyle n}n - натурал сан және ол {\displaystyle n}n санынан үлкен емес әрі онымен өзара жай натурал сандар санына тең. Эйлер бұл функцияны сандар теориясы еңбектерінде алғашқы болып пайдаланған.
Сонымен, барлық оң сандар жиынында анықталған φ(n) сандық функциясы Эйлер функциясы деп аталады.
Мысалы, n=8 үшін 1,2,3,4,5,6,7 сандарының ішінде 8-бен өзара жай сандардың саны 4, демек φ(8)=4. Сол сияқты: φ (1)=1; φ(2)=1; φ (6)=2; φ(5)=4;
6-тұжырым. m модулімен өзара жай қалындылар класының саны φ(m)-ге тең.
Егер n= р11 р22 … ркк түрінде берілсе, онда
мұндағы (1)=1.
Эйлер функциясын Эйлер көбейтіндісі ретінде де өрнектеуге болады.
мұндағы р - n санының жай сандарға жіктелуінде қатысатын барлық жай сандарды қабылдайды.
Эйлер функциясының қасиеттері:
егер -жай сан болса. Жекеше түрі: болғанда .
, , егер -ең кіші ортақ еселік, ал - ең үлкен ортақ бөлгіш.
Мысалы:n=288=2532 болса, онда φ(288)=96 ; n=30=2∙3∙5 болса, онда φ(30)=8.
Эйлер функциясының мынадай қасиеті бар: Кез келген p жай және k натурал сандары үшін pk= φ (1)+ φ(p)+ φ(p2)+…+ φ(pk).
2-теорема: n санының барлық d натурал бөлгіштері бойынша алынған φ (d) сандарының қосындысы n-ге тең, яғни
.
3-теорема (Эйлер теоремасы): Егер а бүтін саны m санымен өзара жай болса, онда aφ (m)≡1(mod m).
