Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
- Бұл бет үшін навигация:
- 6.2.2 Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің Кардано формуласы
| Безу теоремасы: P(x) көпмүшелігін х-a екі мүшелікке бөлгендегі қалдық P(а)-ға тең деп тұжырымдайды. Мұндағы көпмүшелік коэффициенттері белгілі бір коммутативті бірлігі бар сақинада (мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінде) жатыр деп саналады.
Салдары: а саны сонда тек сонда, егер р(x) қалдықсыз х-a-ға бөлінсе р(x) көпмүшелігінің түбірі болады (осыдан P(x) көпмүшелігінң түбірлер жиыны сәйкес P(x)=0 теңдеуінің шешімдер жиынымен бірдей). Бүтін коэффициенті көпмүшеліктің бос мүшесі көпмүшеліктің кез келген бүтін түбіріне қалдықсыз бөлінеді (егер жоғарғы коэффициенті 1 болса, онда барлық рационал түбірлері де болады). а – бүтін коэффициенті А(x) келтірілген көпмүшеліктің бүтін түбірі болсын. Онда кез келген бүтін k саны үшін А(k) саны а-k санына бөлінеді. теңдеуінің түбірін Безу теоремасы бойынша табайық. Бос мүше 1 санының бөлгіштері ±1 сандары болғандықтан, берілген көпмүшелікті және екімүшелігіне бөлеміз. Сонда берілген көпмүшелік -ге қалдықсыз, ал қалдықпен бөлініп тұр. Демек, бұл теңдеудің тек қана бір нақты шешімі бар.
6.2.2 Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің Кардано формуласы түріндегі кубтық теңдеудің түбірлерін комплекс сандар өрісінде табуға арналған Кардано формуласы италиялық математик, философ әрі дәрігер Дж.Кардано (1501-1576 ж.ж.) есімімен аталған. Ол оны алғаш рет 1545 жылы жариялаған. Жалпы түрдегі кез келген кубтық теңдеу қарастырайық: Берілген теңдеуді алмастыруы арқылы канондық түрдегі үшмүшелік түріне келтіреміз: , мұндағы Келтірілген теңдеуде тағы бір үшмүшелі 3-дәрежелі теңдеуді төмендегідей түрге келтіреміз: Осы теңдеудің екі жағын да -қа көбейтіп, теңдеуін аламыз. Алынған соңғы теңдеу -қа қарағанда квадрат теңдеу болғандықтан, оның түбірлерін төмендегідей көрсетуге болады: Бұл мынадай кубтық радикалдарды береді: Олай болса, үшмүшелі кубтық теңдеудің түбірлері мынаған тең: Енді осы және сандарының тең екенін көрсетйік. Ол үшін оларды мынадай түрде түрлендіреміз. -дегі бөлшектің алымы мен бөлімін -ге, ал -дегі бөлшектің алымы мен бөлімін -ге көбейтеміз, сонда: Дәл осылайша екенін аламыз. Олай болса, , және канондық куб теңдеудің түбірлері үшін Кардано формуласының түрі төмендегідей: Бұл формулада белгілеуін енгізіп, оны куб теңдеудің дискриминанты дейміз. Егер кубтық теңдеудің барлық коэффициенттері нақты болса, онда да нақты сан, оның таңбасы теңдеудің түбірлерінің түрлерін көрсетеді: бір нақты және екі түйіндес түбірлері бар. екі немесе үш еселі түбірлері бар. үш нақты түбірлер бар. Бұл «келтірілмейтін» жағдай, дәл осы жағдайды зерттеу кезінде алғашқы рет комплекс сан ұғымы пайда болған. 1-мысал: теңдеуін шешейік. ауыстыруын жасап, теңдеуін аламыз. Соңғы теңдеудің дискриминанты нөлге тең. Сондықтан Осыдан жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|