Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
-теорема. Кезкелген өлшемді векторлық кеңістіктің базисі болады. 2-теорема
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
- Бұл бет үшін навигация:
- 6-лекция 2.2 Евклидті кеңістік 2.2.1 Евклидті кеңістік ұғымы
| 1-теорема. Кезкелген өлшемді векторлық кеңістіктің базисі болады.
2-теорема. Берілген шекті өлшемді векторлық кеңістіктің бір базисіндеі векторлар саны басқа базистегі векторлар санына тең болады. 6-лекция 2.2 Евклидті кеңістік 2.2.1 Евклидті кеңістік ұғымы Евклид кеңістігі, оның анықтамасы векторларды скаляр көбейту позициясына негізделген, бірқатар төмендегі шарттарды қанағаттандыратын сызықтық кеңістіктің ерекше жағдайы. векторлардың скаляр көбейтіндісі абсолютті симметриялы, яғни координаталары (х; у) векторы сан жағынан координаталары (у; х) векторымен бірдей, бірақ бағытына қарама-қарсы. егер вектордың өзімен бірге скаляр көбейтіндісі орындалса, онда бұл әрекеттің нәтижесі оң болады. Мұндай вектордың бастапқы және соңғы координаталары нөлге тең болған жағдайда ғана ерекшелік болады: бұл жағдайда оның өзімен бірге көбейтіндісі де нөлге тең. скаляр көбейтіндісі дистрибутивтік болып табылады, яғни векторларды скалярлық көбейтудің соңғы нәтижесінің өзгеруіне алып келмейтін оның координаттарының бірін екі шаманың қосындысына ыдырату мүмкіндігі бар. векторларды бірдей нақты санға көбейткенде, олардың нүктелік көбейтіндісі де сол мөлшерге көбейеді. Осы төрт шарттың барлығы орындалған жағдайда, бізде Евклид кеңістігі бар деп айтамыз. Енді Евклид кеіңстігінің математикалық анықтамасын берейік. 1-анықтама. Нақты сызықты векторлық кеңістіктің кез келген екі элементіне (векторына) скаляр көбейтінді деп аталатын нақты саны сәйкес келсе және оған мына төмендегі аксиомалар орындалса: 1. 2. - нақты сан, 3. 4. егер егер онда бұл кеңістікті нақты Евклид кеңістігі деп атайды. 1-4 аксиомаларын Евклид аксиомалары деп атайды. Евклид кеңістігі кез келген шекті өлшемді немесе шексіз өлшемді болып бөлінеді. Евклид кеңістігінің қасиеттері: 1. 2. 3. 4. Бұл қасиеттерді скаляр көбейтіндінің 1) – 3) аксиомаларын пайдаланып дәлелдейік: Шынында да, 1. 2. 3. 4. Практикалық тұрғыдан Евклид кеңістігіне келесі нақты мысалдарды келтіруге болады: Ең қарапайым жағдай - геометрияның негізгі заңдарымен анықталған скаляр көбейтіндісі бар векторлар жиынтығының болуы. Егер векторлар арқылы біз олардың скалярлық қосындысын немесе көбейтіндісін сипаттайтын формуласы бар нақты сандардың белгілі бір шекті жиынын білдіретін болсақ, онда оның эвклид кеңістігі де алынады. Евклид кеңістігінің ерекше жағдайы екі вектордың да скалярлық ұзындығы нөлге тең болған жағдайда алынатын нөлдік кеңістік деп танылуы керек. Шындығында, векторлар жүйесін қарастырайық. Оның элементі вектордың координаталары ретінде нақты сандардың жиынын алайық: . Сонда пен векторларды қосу және оларды нақты санға көбейту төмендегідей анықталады: Ал олардың скаляр көбейтіндісін (1) формуласымен өрнектейік. Бұл формуламен өрнектелген скаляр көбейтіндіге анықтамадағы төрт аксиома түгелімен орындалады. Олай болса, бұл векторлар жиыны өлшемді Евклид кеңістігін құрайды. Евклид кеңістігінің бірқатар ерекше қасиеттері бар. Біріншіден, скалярлық коэффициентті нүктелік көбейтіндінің бірінші факторынан да, екінші факторынан да шығаруға болады, нәтиже ешқандай өзгеріске ұшырамайды. Екіншіден, скаляр көбейтіндісінің бірінші элементінің үлестірілуімен қатар екінші элементтің үлестірімділігі де әсер етеді. Сонымен қатар, векторлардың скалярлық қосындысынан басқа, векторларды азайту кезінде де үлестірімділік орын алады. Ақырында, үшіншіден, векторды скалярлы көбейту кезінде нәтиже де нөлге тең болады Сонымен, Евклид кеңістігі векторлардың бір-біріне қатысты өзара орналасуымен есептер шығаруда қолданылатын ең маңызды геометриялық ұғым болып табылады, оны сипаттау үшін скаляр көбейтінді сияқты ұғым қолданылады. жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|