10-теорема. Кез келген өлшемді евклид кеңістігінде вектордан құрылған ортонормалданған базис бар.
1-мысал. сегментте анықталған дәрежесі үштен аспайтын көпмүшеліктер кеңістігіндегі ортогонал базисті табу керек.
Шешуі. Ортогонал базисті табу үшін
элементтерін базис ретінде қарастыралық. Енді элементтеріне сызықты тәуелді ортогонал базисті (7) формула бойынша:
мұндағы
Сонымен,
(7) формуладан
мұндағы
Сонымен,
Ең соңында (7) формуладан:
мұндағы
Сонымен, .
2-мысал.
.
ә) .
Шешімі: а) L кеңістігі САТЖ шешімі, ал - ішкі кеңістігі САТЖ матрицасы коэффициенттерінің жатық жолдарының сызықты қабықшасы болып табылады.
, .
ә) САТЖ шешімі болатын ішкі кеңістік сызықты қабықшасының ортогональды толықтауышы болады.
немесе .
Бұл САТЖ-ның шешімдерінің ішкі кеңістігінің базисы:
, .
2.2.4. Ортонормалданған базисте координаталарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі
Шмидтің ортогональдау процесі деп аталатын теореманы қарастырайық.
11-теорема. Евклид кеңістігіндегі кез келген екі вектордың скаляр көбейтіндісі
(12)
формуламен өрнектелу үшін, оның базисі ортонормалданған болуы қажетті әрі жеткілікті.
Қажеттілігі. (12) формула орындалсын деп, базис ортонормалданған болуын дәлелдейік. пен векторларын берілген базисте жіктелік:
(12) формуладан
Яғни,
Соңғы теңсіздіктің орындалуы үшін евклид кеңістігінің базисі ортонормалданған болуы жеткілікті:
(13)
Жеткіліктілігі. Евклид кеңістігінің базисі ортонормалданған болсын деп ұйғарып, (12) формуланы дәлелдейік. Ол үшін пен векторларының скаляр көбейтіндісін қарастырамыз:
Теорема дәлелденді.
12-теорема. Евклид кеңістігіндегі базисі ортонормалданған базисте вектордың координаттары :
(14)
формуламен өрнектеледі.
Дәлелдеу. Берілген , векторды базис бойынша жіктейік:
Осы жіктеудің екі жағында векторына скаляр көбейтсек және ортонормалданған жүйесі екенін ескерсек, онда
Теорема дәлелденді.
Егер кеңістігінің кез келген базисі берілген болса, онда
, (15)
мұндағы
(16)
векторлар осы кеңістіктің ортогональ базисін құрайды.
Достарыңызбен бөлісу: |
