Үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғаларының арасындағы байланыс туралы теорема. 1. Үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғаларының арасындағы байланыс туралы
теорема.
Теорема. Үшбұрыштың: 1) үлкен қабырғасына қарсы үлкен бұрыш жатады; 2) үлкен
бұрышына қарсы үлкен қабырға жатады.
Салдар. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы катеттердің әрқайсысынан үлкен.
Гипотенуза тік бұрышқа қарсы жатады. Тік бұрыш сүйір бұрыштан үлкен болғандықтан,
гипотенуза катеттердің әрқайсысынан үлкен болады.
Салдар. Тең қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар тең болады, тең бұрыштарға
қарсы жатқан қабырғалар тең болады.
2. 30°-қа тең бұрышқа қарсы жатқан катеттің қасиеті.
Бір бұрышы 30°-қа тең тік бұрышты үшбұрыштың осы үшбұрышқа қарсы жатқан
катеті гипотенузаның жартысына тең.
Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары мына формулалар арқылы есептеледі:
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝛾
= 2𝑅
(синустар теоремасы) 𝑎
2
= 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 2𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑏
2
= 𝑎
2
+ 𝑐
2
− 2𝑎𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐
2
= 𝑎
2
+ 𝑏
2
− 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾
}
(косинустар теоремасы) Мұндағы а, b, с – үшбұрыштың қабырғалары;
𝛼, 𝛽, 𝛾
– үшбұрыштың сәйкес
а, b, с қабырғаларына қарсы жатқан бұрыштар; R – үшбұрышқа сырттай сызылған
шеңбердің радиусы.
Чева теоремасы АВС үшбұрышының АВ, ВС, АС қабырғаларынан сәйкесінше
D, Е, К нүктелері алынсын. АЕ, ВК және CD түзулері бір нүктеде қиылысу үшін
𝐴𝐷
𝐵𝐷
∙
𝐵𝐸
𝐶𝐸
∙
𝐶𝐾
𝐴𝐾
= 1
теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті (13-сурет).
