Лекция автоматика
ЛЕКЦИЯ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКИМ И ЧАСТОТНЫМ КРИТЕРИЯМ
жүктеу/скачать 1,31 Mb.
|
| ЛЕКЦИЯ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКИМ И ЧАСТОТНЫМ КРИТЕРИЯМ
Алгебраический критерий устойчивости Гурвица применяется для замкнутых систем. Однако, как правило, известна W(s) разомкнутой САУ. В этом случая надо ”мысленно” замкнуть систему единичной обратной отрицательной связью (ООС), найти передаточную функцию замкнутой системы по формуле Wз(s)= и записать характеристическое уравнение системы Q2(s)=0, т.е. a0sn+ a1sn-1+...+ an-1s+ an=0. Формулировка критерия устойчивости Гурвица: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при a0>0 все миноры, расположенные по главной диагонали определителя Гурвица, были строго положительны. Определитель Гурвица строится по коэффициентам характеристического уравнения следующим образом: (nn)= >0 где n-порядок системы. Из формулировки критерия устойчивости Гурвица следует, что при а0>0 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы 1=a1>0 2= >0 3= и т.д. Различают три типа границы устойчивости системы из условия n=ann-1=0 Это следующие границы: первый тип границы устойчивости, который называется апериодической границей устойчивости an=0; второй тип границы устойчивости, который называется колебательной границей устойчивости n-1=0; третий тип границы устойчивости называется бесконечной a0=0, когда один из корней характеристического уравнения равен бесконечности, т.е. sj= Следует отметить, что наиболее опасной является нахождение системы на колебательной границы устойчивости. К частным критериям устойчивости относятся критерии устойчивости Михайлова и Найквиста. Критерий устойчивости Михайлова применяется для замкнутых систем. Поэтому надо “мысленно” замкнуть систему единичной ООС, найти Wз(s) и записать характеристическое уравнение замкнутой системы. Затем необходимо получить аналитическое выражение годографа Михайлова, который обозначается как D(jw). Для этого в характеристическое уравнение замкнутой системы надо подставить s=jw, разбить D(ja) на вещественную и мнимую части и построить кривую в координатах Jm-Re по контрольным точкам, т.е. D(jw)= Re D(jw)+ Jm D(jw). Формулировка критерия устойчивости Михайлова: для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной оси, последовательно проходил n-квадратов и уходил в бесконечность в n-том квадрате, где n- порядок системы. Принято различать три типа нахождения системы на границе устойчивости: 1) апериодическая 2) колебательная бесконечный корень Рис.7.1 Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) разомкнутой системы. Это главное преимущество критерия устойчивости Найквиста, благодаря которому он имеет широкое применение на практике. АФХ разомкнутой САР построить достаточно просто по контрольным точкам. Для этого в W(s) поставить s=jw, разбить на мнимую и вещественную части W(s) и построить в координатах Jm-Re. Формулировка критерия устойчивости Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой САР не охватывала точку с координатами (-1; j0). Литература осн. 1[82], 3[114-123], 5[102-105]. Контрольные вопросы Необходимые и достаточные условия устойчивости. Нарисуйте вид переходного для различных корней характеристического уравнения. При каких случаях нельзя определить устойчивость реальных систем по уравнениям первого приближения? Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости линеаризованных систем. 1.Для определения устойчивости по критерию Гурвица необходимо и достаточно 1.[+]: определитель Гурвица и все диагональные миноры определителя Гурвица положительны при положительных коэффициентах характеристического уравнения 2.все диагональные миноры определителя Гурвица отрицательны при положительных коэффициентах 3.все диагональные миноры равны нулю 4.все коэффициенты положительны 5.все коэффициенты отрицательны 2.Необходимым и достаточным условием устойчивости по критерию Гурвица для системы первого порядка а1Р+а0=0 1.[+]: а1 0; а0 0; 2.а1 0; а0 0; 3.а1=0; а0 0; 4.а1 0; а0 0; 5.а1 0; а0=0; 3.Необходимы и достаточны условием устойчивости по критерию Гурвица для системы второго порядка а2Р2+а1Р+а0=0 1.[+]: а2 0; а1 0; а0 0; 2.а2 0; а1 0; а0 0; 3.а2 0; а1 0; а0 0; 4.а2 0; а1 0; а0 0; 5.а2 0; а1 0; а0 0; 4.Необходимы и достаточны условием устойчивости по критерию Гурвица для системы третьего порядка а3Р3+а2Р2+а1Р+а0=0 1.[+]: а3 0; а2 0; а1 0; а0 0; 2.а3 0; а2 0; а1 0; а0 0; 3.а3 0; а2 0; а1 0; а0 0; 4.а3 0; а2 0; а1 0; а0 0; 5.а3 0; а2 0; а1 0; а0 0; 5.АСР устойчива по критерию Михайлова, если годограф Михайлова при =0 для системы I порядка а0Р+а1=0 1.заканчивался на положительной вещественной оси 2.пересекает первый и третий квадрант 3.последовательно обходит два квадранта 4.начинается на положительной вещественной оси и заканчивается на четвертом квадранте 5.[+]: начинается на положительной вещественной оси и представляет прямую, находящуюся в первом квадранте 6.АСР устойчива по критерию Михайлова, если годограф Михайлова при =0 для системы II порядка а0Р2+а1Р+а2=0 1.начинается на положительной вещественной оси и заканчивается на мнимой оси 2.пересекает два квадранта (первый и тертий) 3.пересекает начало координат 4.последовательно против часовой стрелки обходит три квадранта 5.[+]: начинается на положительной вещественной оси и последовательно обходит два квадранта, не пересекая начало координат. 7.АСР устойчива по критерию Михайлова, если годограф Михайлова при а=0 для системы III порядка а3Р3+а2Р2+а1Р+а0=0 1.Заканчивается на положительной вещественной оси 2.пересекает начало координат 3.пересекает четыре квадранта 4.последовательно обходит четыре квадранта 5.[+]: начинается на вещественной положительной оси и последовательно обходит три квадранта против часовой стрелки нигде не пересекая начало координат 8.Система устойчива по критерию Найквиста, если АФХ разомкнутой системы. 1.[+]: Не охватывает точку с координатами ( -1; J0) 2.Охватывает точку с координатами ( -1;J0) 3.Проходит через точку с координатами (-1;J0) 4.Проходит через точку с координатами (-2;J0) 5.Охватывает точку с координатами (-2;J0) 9.Система неустойчива по критерию Найквиста , если АФХ разомкнутой системы . 1.Не охватывает точку с координатами (-1;J0) 2.Пересекает мнимую ось 3.[+]: Охватывает точку с координатами (-1;J0) 4.Проходит через начало координат 5.Проходит через точку с координатами (-1;J0) жүктеу/скачать 1,31 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|