Лекция автоматика
жүктеу/скачать 1,31 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Преобразование Лапласа и ее применение в расчетах
| ЛЕКЦИЯ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В РАСЧЕТАХ
Система автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальные уравнения для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не меньше чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы. При составлении дифференциальных уравнений каждого элемента необходимо, прежде всего, выявить физический закон, определяющий его поведение. Таким законом может, например закон сохранения энергии, закон сохранения вещества и другие законы физики. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы. Обозначим физические величины (входящие в стандартное уравнение) и введем символы операторов дифференцирования: ; ; … то, например, дифференциальное уравнение элемента или системы вида: в операторной форме запишется: (а3р3+а2р2+а1р+а0)х(t) = (b1p+b0)f(t). Операторное уравнение является дифференциальным уравнением, в нем буква р обозначает оператор дифференцирования, а переменные х(t) и f(t) являются реальными функциями. Преобразование Лапласа и ее применение в расчетахПри исследовании и расчетах АС часто обращаются к математическому методу, который получил название преобразование Лапласа. Этот метод позволяет функцию х(t) одного переменного (обычно времени t) преобразовать в функцию х(р) другого переменного (как правило, р) посредством соотношения: , где р=а+jb – произвольная комплексная величина, а и b – вещественные переменные, х(t) – оригинал, х(р) – изображение. Сокращенно преобразование Лапласа записывается так: х(р) = L х(t) Преобразование Лапласа дает возможность выполнить алгебраизацию дифференциальных уравнений, т.е. операции дифференцирования и интегрирования заменить алгебраическими операциями умножения и деления. При этом первая производная от х будет иметь изображение рх(р) и т.д., т.е. производная от х n-го порядка будет выражаться как произведение оператора р в n-ой степени на изображение х(р): Интеграл заменяют дробью в числите которой изображение, а в знаменателе – оператор р: Отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной величине при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией звена (элемента) автоматической системы управления. Допустим уравнение звена, преобразованное по Лапласу при нулевых начальных условиях, имеет вид: Хвых(р)(a0pn+a1pn-1+ …+an)=xвх(p)(b0pm+b1pm-1+ …+bm), Откуда: Величину: , называют передаточной функцией звена. K(p) и Q(p) – полиномы комплексного переменного р: Понятие передаточной функции существенно упрощает решение инженерных задач при расчетах и наладке автоматических систем управления. Так, зная передаточную функцию системы, с учетом Хвых(р) по обратному преобразованию Лапласа, можно найти переходный процесс системы. Переходная функция, или переходная характеристика, h(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена или системы, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (при нулевых начальных значениях). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается x1(t)=1(t), что соответствует х1=0 при t 0 и х1=1 при t 0. Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена или системы. Если входное воздействие представляет собой не единичную ступенчатую функцию x1=N1(t), то выходная величина будет равна x2=Nh(t). Таким образом, более строго переходную функцию можно определить как отношение выходной величины звена х2(t) к высоте ступенчатого скачка x1=N1(t) на его вход, т.е. h(t)=N-1x2(t) при этом размерность h(t) соответствует размерности передаточной функции звена. Литература осн. 3[73-75], 4[33-40],доп. 6[38,39] Контрольные вопросы Отличие между уравнениями динамики и статики. Сущность линеаризации нелинейных уравнении. Порядок решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления. Как понимаете преобразование Лапласа? Перечислить основные свойства преобразование Лапласа. 1.Линейная система регулирования описывается: 1.[+]: линейными дифференциальными уравнениями 2.нелинейными дифференциальными уравнениями 3.алгебраическими уравнениями 4.тригонометрическими уравнениями 5.интегральными уравнениями 2.Статическая характеристика звена или АСР устанавливает связь между выходными и входными параметрами в: 1.[+]: установившемся режиме 2.переходном режиме 3.динамическом режиме 4.случайном режиме 5.неустановившемся режиме 3.Сущность метода линеаризации нелинейной статистической характеристики заключается: 1.[+]: замене участке кривой прямой касательной к этой кривой в заданной точке 2.замене участка кривой ломаной линией 3.замене участка кривой окружностью 4.замене участка кривой дугой 5.замена прерывистой линией 4.Аналитическая линеаризация нелинейной зависимости статистической характеристики осуществляется: 1.[+]: разложением функции в ряд Тейлора по малым приращениям аргумента 2.разложениям функции в непрерывный 3.разложениям функции в степенной ряд 4.разложениям функции в ряд Фурье 5.разложениям в ряд арифметической прогрессии 5.Временная динамическая характеристика – переходная функция – это реакция звена на 1.[+]: единичное, ступенчатое возмущение (единичный скачок) 2.гармоничный сигнал 3.синусоидальный сигнал 4.случайный сигнал 5.импульсный сигнал 6.Преобразование Лапласа состоит в том, что вместо функции времени используют: 1.Функцию тригонометрическую 2.Функцию гармоническую 3.Случайную функцию 4.Импульсную функцию 4.[+]: Функцию комплексной переменной 7.В преобразовании Лапласа функция комплексной переменной Х(Р) называется 1.оригиналом функции 2.изображением функции 3.линейным преобразованием 4.интегральным преобразованием 5.производной функции жүктеу/скачать 1,31 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|