Лекция автоматика
ЛЕКЦИЯ 8. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
жүктеу/скачать 1,31 Mb.
|
Лекция автоматика
| ЛЕКЦИЯ 8. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
Система всегда подвергается действию внешних возмущающих сил. Эти сил в некоторых случаях стремится вывести систему из состояние равновесия. Если равновесия с определенной точностью возвращается в состояния равновесия. Если система неустойчива, она не возвращается в состояние равновесия, а удаляется от него. Обычно под устойчивостью линейной системы понимают свойства затухания переходного процесса с течением времени. Исследование устойчивости системы неразрывна связано с исследованием свободных движении системы, которые описывают однородным дифференциальными уравнениями с ненулевым начальными условиями. (8.1) Где – постоянные коэффициенты. В общем виде решение такого уравнения записывается в виде (8.2) Где – постоянные, определяется начальными условиями, Где – корни характеристического уравнение (8.3) Для того, чтобы система была устойчивой, решение (8.2) должна удовлетворять условию (9.4) т.е. свободное движение системы при должен стремится к нулю при произвольных постоянных интегрирование. Условие (8.4) является аналитическим выражением устойчивости системы и выполняется в том случае, когда все корни характеристического уравнение (8.3) имеют отрицательные вещественные части. Случай1. Все корни уравнение (8.3) вещественные и отрицательные ( ), . В этом случае переходной процесс с течением времени апериодически будет стремится к нулю. Случай 2. Уравнение (8.3) имеет хотя бы один нулевой корень, а остальные корни вещественные (разные) и отрицательные. Тогда решение уравнение имеет вид В этом случае система будет находится на границе устойчивости, т.к нулевой корень дает постоянную составляющую, не стремящейся с течением времени к нулю. Случай 3. Уравнение (8.3) имеет одну пару чисто мнимых сопряженных корней , а остальные вещественные (разные) и отрицательные. Тогда Составляющая от мнимых корней дает незатухающие гармоническое колебания с постоянной амплитудой . Система в этом случае будет неустойчивой (на границе устойчивости). Случай 4. Характеристическое уравнение имеют комплексные сопряженные корни , остальные вещественные (разные) и отрицательные. В этом случае составляющие с переменной амплитудой Если , то возникшее колебательные движение будет затухающим и система будет устойчиво. Если , то колебание незатухающие и система неустойчива. Случай 5. Уравнение (8.3) имеет – кратных корней, а остальные корни вещественные (разные) и отрицательные, тогда Если кратные корни отрицательные, то переходной процесс затухающий и система будет устойчивой. Таким образом условие устойчивости линейной системы выражается в том, что все корни характеристического уравнение должны располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости. Корни расположенные в правой полуплоскости делает систему неустойчивой. Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости. Рисунок 8.1. Расположения корней характеристического уравнения в комплексной плоскости Все эти выводы справедливы только для линейных систем. На практике как правило линейной моделью. В этом случае возникает вопрос, насколько заключение об устойчивости системы, сделанное по линеаризованным уравнениям, будет справедливо для реальных систем. На этот вопрос дан ответ в теоремах Ляпунова об устойчивости. Теорема 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то действительная система будет устойчива. При этом никакие, отброшенные при линеаризации уравнения члены второй и высших степеней отклонения регулируемого параметра не могут изменить устойчивость системы. Теорема 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то действительная система будет неустойчива. При этом никакие, отброшенные при линеаризации, члены второй и высших степеней отклонения регулируемого параметра не могут придать системе устойчивость. Теорема 3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнение линеаризованной системы и отсутствии корней с положительной вещественной частью значения членов второго и высшего порядка могут имеет определяющее значение при оценке устойчивости системы. Поэтому устойчивость исходной системы нужно оценивать по исходным же уравнениям. Литература осн. 1[82], 3[114-123], 5[102-105]. Контрольные вопросы Необходимые и достаточные условия устойчивости. Нарисуйте вид переходного для различных корней характеристического уравнения. При каких случаях нельзя определить устойчивость реальных систем по уравнениям первого приближения? Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости линеаризованных систем. 1.Устойчивость АСР – это свойство 1.завершать затухающие колебания 2.[+]: затухание переходных процессов собственного движения системы 3.вынужденные движения системы 4.не возвращаться состоянию равновесия 5.завершать вынужденные колебания 2.Система автоматического регулирования находится на границе устойчивости, если корни характеристического уравнения системы 1.Вещественные положительные 2.Вещественно отрицательные 3.Комплексные с отрицательной вещественной частью 4.[+]: Чисто мнимые 5.равны нулю 3.Введение в управляющий сигнал системы производной по ошибке: 1.улучшает ее проводимость 2.снижает ее коэффициент усиления 3.[+]: улучшает ее устойчивость 4.увеличивает ее постоянную времени 5.снижает в системе колебательный процесс 4.Введение в закон управления сигнала, пропорционального интегралу ошибки,: 1.[+]: ухудшает устойчивость системы 2.улучшает устойчивость системы 3.улучшает постоянную времени системы 4.переводит систему в колебательный процесс 5.увеличивает ошибку системы 5.Введение дополнительной отрицательной обратной связи по ускорению выходного вала: 1.уменьшает запас прочности и повышает быстродействие системы 2.уменьшает запас прочности и снижает добротность системы 3.[+]: увеличивает запас устойчивости и повышает добротность системы 4.увеличивает запас устойчивости и снижает быстродействие системы 5.уменьшает постоянную времени и улучшает коэффициент усиления 6.Введение в управление сигнала, пропорционального производной от внешнего воздействия: 1.улучшает надежность системы 2.снижает быстродействие системы 3.увеличивает ошибку системы 4.овышает коэффициент усиления 5.[+]: не изменяет запаса устойчивости системы жүктеу/скачать 1,31 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|