Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Пусть в прямоугольной системе координат Oxy алгебраическая линия второго порядка задана уравнением
a11⋅x2+2⋅a12⋅x⋅y+a22⋅y2+2⋅a1⋅x+2⋅a2⋅y+a0=0.a11⋅x2+2⋅a12⋅x⋅y+a22⋅y2+2⋅a1⋅x+2⋅a2⋅y+a0=0.
Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.
1. Если в уравнении имеется член с произведением неизвестных (a12≠0), то делаем поворот системы координат:
x=x′⋅cosφ−y′⋅sinφ,
y=x′⋅sinφ+y′⋅cosφ
на угол φ (0<φ<π2), удовлетворяющий равенству ctg2φ=a11−a222a12. При этом получим "почти" приведенное уравнение линии второго порядка:
λ1⋅(x′)2+λ2⋅(y′)2+2⋅a′1⋅x′+2⋅a′2⋅y′+a0=0.λ1⋅(x′)2+λ2⋅(y′)2+2⋅a1′⋅x′+2⋅a2′⋅y′+a0=0.
Если a12=0, переходим к пункту 2, поворот системы координат делать не нужно, так как исходное уравнение имеет "почти" приведенный вид.
2. Выполняем параллельный перенос системы координат:
а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 3;
б) если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например, если в уравнении λ1≠0 и a1′≠0,то выполняем преобразования:
λ1(x′)2+2⋅a′1⋅x′=λ1[(x′)2+2a′1λ1x′+(a′1λ1)2]−λ1(a′1λ1)2=λ1(x′+a′1λ1)2−λ1(a′1λ1)2,λ1(x′)2+2⋅a1′⋅x′=λ1[(x′)2+2a1′λ1x′+(a1′λ1)2]−λ1(a1′λ1)2=λ1(x′+a1′λ1)2−λ1(a1′λ1)2,
а затем замену неизвестных x′′=x′+a′λ1, y′′=y′, после которой в уравнении не будет линейного члена с неизвестной x″
в) если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид
λ⋅(x′)2+2⋅a′2⋅y′+a0=0,λ⋅(x′)2+2⋅a2′⋅y′+a0=0,
то, выполняя замену неизвестных x′′=x′, y′′=y′+a02a′0, получаем уравнение без свободного члена:
λ1⋅(x′′)2+2⋅a′2⋅y′′=0.λ1⋅(x″)2+2⋅a2′⋅y″=0.
3. Полученное в результате упрощений (пункт 2) уравнение имеет "почти" канонический вид. Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения при необходимости применяются следующие преобразования:
а) переименование координатных осей: x′=y″, y′=x″
б) изменение направления координатной оси, например оси абсцисс: x′=−x′′, y′=y′;
в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;
г) перенос членов из одной части уравнения в другую.
В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.
Вопросы и задания:
Привести к каноническому виду уравнения линии. Написать формулы перехода от данной системы координат к новой. Построить чертеж
4xy+3y^2 +16x+12y-36=0
1
|
№ 15
лекция
|
|
