Угол между двумя прямыми в пространстве.
Возьмем в пространстве две непараллельные прямые и . Тогда и являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если и пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между и называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит остальные.
Пусть и являются скрещивающимися. Возьмем в пространстве произвольную точку и проведем через нее прямые и Прямые и образуют четыре угла с вершиной . Тот из них, который по величине не превосходит остальные, называется углом между прямыми и .
Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми и . Пусть и направляющие векторы прямых и соответственно. Возможны два случая:
а) Если , то . Тогда .
б) Если , то . Тогда .
Из пунктов а), б) следует, что . Таким образом,
. (35)
2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Из формулы (35) получаем:
.
Итак,
(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).
Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.
3. Угол между прямой и плоскостью.
Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если не перпендикулярна , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость
Если , то угол между и считается равным .
Пусть и не перпендикулярна , направляющий вектор прямой , а плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением . Найдем величину угла между прямой и плоскостью . Положим .
Возможны два случая:
а) Если , то .
б) Если , то .
Из пунктов а), б) следует, что . Учитывая, что , получаем:
. (36)
Заметим, что если , то , тогда (соответственные координаты коллинеарных векторов пропорциональны). Тогда левая часть формулы (36) будет равна:
,
а правая – .
Таким образом, если , то формула (36) также справедлива.
4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
. Применяя условие коллинеарности двух векторов в координатах, получим:
.
1
|
№ 13
лекция
|
|
