Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
Лекциялар жинағы -11
- Бұл бет үшін навигация:
- Бiрiншi топқа
- Екiншi топтағы
| Анықтама. Егер берiлген кез келген >0 саны бойынша >0 саны табылып,
0< (4) теңсiздiгiн қанағаттандыратын барлық x-тер үшiн (5) теңсiздiгi орындалатын болса, ондаА санын x айнымалы түрақты а санына ұмтылғандағы, яғни xa жағдайдағы, f(x) функциясының шегiдейдi және оны былай жазады: .(6) Функцияның нүктедегi шегi ұғымын терең түсiнбеу оқушыларға көптеген қиындықтар туғызады. Бұл қиындықтың себебi берiлген ұғымның анықтамасын бiлiп, оны қолдану үшiн әртүрлi ұғымдарды: жалпылық кванторы (“кез келген >0…”, “барлық x-тер…”), бар болу кванторы (“сондай бiр >0 табылып…), логикалық салдар, функция ұғымы, сандық аралықтар, |x-a|<b теңсiздiгiн шешу, олардың шешiмiн сандық өсте кескiндеу 6-9 сыныптарда оқылған функциялар және олардың графиктерiн бiлу қажет. Бұларды қайталап шығу үшiн арнайы сабақ бөлiнгенi орынды. Мазмұнына қарай бұларды үш топқа бөлуге болады. Бiрiншi топқа, түрiндегi теңсiздiктердi шешу жатады. Бұларды меңгеру үшiн төмендегi бiлiктiлiк элементтерiн кайталап, оларды қарапайым есептердi шешуге қолдана бiлу қажет. а және bсандарының ара қашықтығы деп -ны айтады. теңсiздiгiнiң шешiмi a нүктесiнен бiрдей b қашықтықта жатқан сандық өстегi интервалы болады. , және теңсiздiктерiнiң шешiмi де осы сияқты қарастырылады. Екiншi топтағы қайталануға тиiстi аса маңызды бiлiмге логикалық салдардың шарты мен қорытындысы, теңдеу ұғымы жатады. Алдымен қарапайым мысал келтiрейiк: мен бөлмеде болатындықтан, мен үйдемiн, өйткенi бөлме үйдiң бiр бөлiгi болып табылады; менiң үйде болатындығымнан менiң бөлмеде болатындығым келiп шыкпайды, өйткенi асбөлмесiнде немесе дәлiзде болуым мүмкiн. Осы жағдайды жалпылап, оны математикалық тiлмен жазайық: егер (3-сурет) болса, онда болады. Мысалы, 2<х<5 теңсiздiгiнiң шешiмi (2; 5) интервалы болады, ал теңсiздiгiнiң шешiмдерi [-5;5] кесiндiсi болады (4-сурет). болатындықтан, бiрiншi теңсiздiктiң кез келген шешiмi, екiншi теңсiздiктiң де шешiмi болады. Бұл айнымалы х-тiң кез келген мәнiнде тура болатын бiрiншi теңсiздiктiң айнымалының сондай мәндерi үшiн екiншi теңсiздiктiң де дұрыс болатынын көрсетедi. Олай болса, 2<х<5 теңсiздiгiнен теңсiздiгi келiп шығады. Жалпы алғанда, егер бiр теңсiздiктiң шешiмдерiнiң жиыны екiншi теңсiздiктiң шешiмдерiнiң iшкi жиыны болса, онда бiрiншi теңсiздiктен екiншi теңсiздiк келiп шығады. Теңдеулер үшiн осы сияқты. Мысалдар қарастырайық. 1-мысал. х2-5х+6=0 теңдеуiнiң шешiмдерiнiң жиыны {2;3}. Ал (х2-4)•(х2-9)=0 теңдеуiнiң шешiмдерiнiң жиыны мынаған тең: {2;-2;3;-3}. {2;3}{2;-2;3;-3} болатындықтан, х2-5х+6=0 теңдеуiнен (х2-4)•(х2-9)=0 теңдеуi келiп шығады. Қайталануға тиiстi аса маңызды үшiншi топқа бұрын өтiлген, мынадай функциялардың графиктерiн қайталау жатады. Функцияның нүктедегi шегi ұғымын өтудiң алдындағы дайындық сабақтарына әртүрлi анықталу облыстарында түрлiше функциялармен берiлген функциялардың графигiн салуды қарастырған тиiмдi. Мұндай есептердi қарастыру және олардың графиктерiн салу функцияның нүктедегi шегiн, үзiлiсіздiгiн, үзiлiстiлiгiн, туындысын көрнекi түсiнуге мүмкiндiк бередi. Төменде формуланың оң жағында әр түрлi тәсiлмен анықталған функциялардың графиктерiн көрнекi түрде кескiндейтiн кейбiр ерекше қасиеттерi келтiрiлген. Бұл математикалық талдаудың әртүрлi ұғымдарын иллюстрациялауда қажет. х0=0 нүктесiнде функция анықталған, бiрақ бұл нүктеде шегi жоқ, сондықтан функция бұл нүктеде үзiлiстi. . х0=2 нүктесiнде бұл функцияның шегi бар, бiрақ бұл нүктеде функция анықталмаған. функция х0=2 нүктесiнде анықталған, шегi бар, бiрақ бұл шек функцияның осы нүктедегi мәнiне тең емес. Жаңа материалды түсiндiру, баяндау мынадай үш бөлiктен тұрады: функцияның нүктедегi шегi түсiнiгiн көрнекi қалыптастыру; функцияның нүктедегi шегiнiң анықтамасы; жаңа бiлiмдердi қолдану. Осы бөлiктердiң әрқайсысының мазмұнына толығырақ тоқталайық. Функцияның нүктедегi шегiн көрнекi түрде қалыптастыру. 8-11-суреттерде келтiрiлген функция графиктерiн қарастырайық: Функциялардың графиктерiнiң әрқайсысын х0=2 нүктесiнiң маңайымен салыстырайық. Айнымалы х-тiң мәндерi 2 санына жақындаған сайын функциясының мәндерi 1 санына мейлiнше жақындай түседi. “функциясының мәндерi 1 санына мейлiнше жақындай түседi?” деген ненi бiлдiредi. Бұл сөз 1 саны мен f(x) функциясының ара қашықтығы алдын ала берiлген оң >0 санынан мейлiнше кiшi болатындығын көрсетедi. Мысалы, үшiн =0,5 деп алайық: Айнымалы х-тiң қандай мәндерi үшiн болатындығын анықтайық. 8-суреттен бұл шарттың интервалында жатқан х-тiң барлық мәндерi үшiн орындалатындығын айқын түрде көруге болады. Жалпы айтқанда х0=2 нүктесi бұл интервалдың ортасы емес. Бiрақсанын мен сандарының ең кiшiсiне тең етiп алсақ, онда х0=2 нүктесiне қарағанда симметриялы аралығы шығады. Егер =0,5 болса, онда мұндай интервалдың , яғни (1,6; 2,4) болатындығын оңай есептеп шығаруға болады. Сөйтiп, =0,5 үшiн ортасы х0=2 болатын интервал табылып, осы аралықта жатқан х-тiң кез келген мәндерiне сәйкес келетiн функция мәндерiн 1 мен салыстырғанда -нан кiшi болады. Бұл айтылғанды логикалық салдар арқылы былайша жазуға болады; (1,6; 2,4) интервалы теңсiздiгi шешiмдерiнiң жиыны болып табылады. Сондықтан соңғы ұйғарымды былайша тұжырымдауға болады: =0,5 үшiн . Бiздiң пайымдауларымыз -нiң нақты мәндерiн алуға байланысты емес. Егер =0,5 үшiн =0,001 немесе =2-нi алсақ, онда сондай тәсiлмен центрi х0=2 нүктесi болатын интервалын табуға болады. Сонымен, әрбiр алдын ала берiлген >0 үшiн сондай бiр >0 саны табылып, болады. Сөйтiп, функциясының х0=2 нүктесiнiңмаңайында тәртiбiн былайша жазуға болады: кез келген >0 үшiн >0 саны табылып, теңсiздiгi орындалады. 1 саны функциясының х0=2 нүктесiндегi шегi деп аталады, оны былай жазады: Eндiфункциясын қарастырайық. Бұл функцияның функциясынан өзгешелiгi сол, ол х0=2 нүктесiнде анықталмаған. Бiрақ х0=2 нүктесiнiң маңайында бұл екi функцияның тәртiбi бiрдей: айнымалы х-тiң мәндерi 2 нүктесiне жақындаған сайын функцияның мәндерi 1 санына мейлiнше жақындай түседi. >0-дi алып, және оу өсiнен интервалын алып, охөсiнен барлық және үшiн орындалатын аралығын табамыз (9-сурет). Сөйтiп, кез келген >0 үшiн >0 саны табылып, мына логикалық салдар орындалады: х2және Демек, берiлген функцияның х0=2 нүктесiндегi шегi 1-ге тең: . Ендi функциясын қарастырайық. х-тiң 2 нүктесiне жақындаған сайын (10-cурет) функция мәндерi ешқандай санға жақындамайды. функциясының х0=2 нүктесiнде шегi жоқ. Ақырында функциясын қарастырайық. 2 нүктесiне xжақындаған сайын (11-сурет) бұл функцияның мәндерi 1 санына да, 3 санына да, 4 санына да, жалпы айтқанда [1;4] кесiндiсiнде жатқан кез келген санға жақындай түседi. Бiрақ бұл сандардың ешқайсына да f(x) функциясы жақындай алмайды. Мысалы, үшiн 3 санын алайық. х-тiң 2 санына жақын жатқан қандай мәндерiн алсақ та, f(x) функциясының сәйкес мәндерi 3-тен 1-ге артық болады. Сондықтан 3 саны берiлген функциясының х0=2 нүктесiндегi шегi болмайды. 4 саны да функцияның шегi емес, өйткенi кез келген х<2 үшiн теңсiздiгi орындалады. Сөйтiп, берiлген функцияның х0=2 нүктесiнде шегi жоқ. II. Функцияның нүктедегi шегiнiң анықтамасы болатындығын көрсету үшiн мынадай амалдарды орындау қажет: >0-дi таңдап алу; жәнеорындалатын >0-ны табу. III. Функцияның нүктедегi шегi туралы жаңа бiлiмдi дұрыстығын дәлелдеуде қолдану. 1-мысал. болатынын дәлелдеңдер. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|