2. Анықталған интегралды қолдану Анықталған интеграл жазық фигуралардың ауданына, айналу денелерiнiң көлемiне байланысты есептер шығару арқылы тиянақталады.
Мысал. қисығымен, түзуімен және өсімен шектелген фигураның ауданын табу.
Шешуі: Суретте берілген жазық фигураның ауданын есептейміз:
12-сурет
.
Жауабы: кв. бірлік.
Мысал. , , синусоида және өсімен шектелген жазық фигура ауданын табу керек.
Шешуі: үшін , ал үшін болатындықтан фигураның ауданы мынаған тең
.
13-сурет
Жауабы: 4 кв. бірлік.
Мысал. Табан ауданы -ға, биіктігі -қа тең конустың көлемін есептейік.
Ш ешуі: Конустың төбесін координаталар басына сәйкес
14-сурет
етіп, биіктігі өсі бойымен бағыттайық (14-сурет).
Кез келген нүктесі арқылы өсіне перпендикуляр жазықтық жүргіземіз. Ол жазықтық конустың болатын дөңгелекті қиып өтеді.
Конустың параллель қималарының аудандары осы қималардан конустың төбесіне дейінгі қашықтықтардың квадраттарының қатынасына тең екені геометрия курсынан белгілі, яғни , мұндағы - конустың нүктесі арқылы өсіне перпендикуляр жазықтықпен қимасының ауданы, - конус табанының ауданы, - конустың биіктігі, шамасы нүктесі арқылы өтетін қимадан конустың төбесіне дейінгі қашықтық.
Соңғы теңдіктен шығады.
Енді интеграл көмегімен конустың көлемін есептейік:
.
Сонымен, конустың көлемін есептеу формуласын алдық.
Мысал. және доғаларымен шектелген фигураның өсінен айналуынан пайда болған дененің көлемін табу керек.
Шешуі: Айналу денесінің көлемінің формуласын және осы доғалардың қиылысу нүктелерінің абсциссалары , болатынын ескере отырып, алатынымыз:
.
Жауабы: .
