a a a a a b b Таким образом, J f{x)dx=t J
a a Если предположить, что / ^ Д [a,
Ъ] , а
р б Л [а, 6], то, согласно доказанному, должно
быть / б А [а, й] и получаем противоречие.
Следовательно, <р £ А [а, Ъ]. ►
И з п р и м е р а 16 след ует, ч то есл и
f £
R [a, 6], то не и з м е н я я с в о й ст в а
интегрируемости и величины
и н т е г р а л а , зн ач ен и е ф у н к ц и и
f н а м н о ж ес т в е ж о р д а н о в о й м ер ы 0
можно заменить произвольны
м и к о н е ч н ы м и зн ач ен и я м и .
§ 1. Интеграл Римана 261 скольку J а(х) dx о 1 7 . Пусть / б А [о, 6]. Доказать, что равенство
J f 2(x)dx = 0 выполняется тогда
a > и только тогда, когда f (x ) = 0 во всех точках непрерывности функции / , принадлежащих
сегменту [о, Ь]. ь 4 Необходимость. Доказательство будем проводить от противного. Пусть J f 2{x)dx = 0, /
a непрерывна в точке хо € ]а, 6[ и / (х0) ф 0. Из непрерывности функции / в точке хо следует,
что ./ (х) > 0 в некоторой окрестности 5(хо, 6). Используя свойство аддитивности интеграла,
имеем
J f 2( x ) dx = J f 2( x ) d x + J f 2( x ) d x + J f 2( x ) d x ^
J f 2(x)dx = c, a a x o — 6 X o + 6 x o — & где c > 0 — постоянное число. Получили противоречие, так как
dx = 0.
a Достаточность. Пусть f (x ) = 0 в каждой точке непрерывности. Из того что / б А[а, £>]
следует, что / 2
