Гл. 1. Введение в анализ

О п ред ел ен и е 3. Открытый шар с центром в точке Хо и радиусом 6 называемся ^б— 
окрестностью точки хо-
На действительной прямой К открытый (соответственно замкнутый) шар радиусЕ б Сеть, 
интервал ]хо — 6, хо + б[ (соответственно сегмент [хо — б, хо + б]). 
.. 
j s
5 6 .
Пусть Rm — множество всевозможных упорядоченных 
систем 
т  
действительных 
чисел (*i, *
2
, . . . , х т). Пусть в множестве Rm определены: внутренняя бинарная операция 
Rm 
х R m —► 
Rm, которая для любых двух элементов 
х
=
(xi, 
х т) и 
у
= (щ , » ..
, У т )  
множества Rm ставит в соответствие элемент
§5. Векторные и метрические пространства 
$Т
Х + У = ( * 1 + J/1, . . . , Х т  + У т ) ,  
■
> >
называемый суммой х и у; внешняя бинарная операция R X Rm —►
 Rm, которая дляяюбого 
X € Rm и любого Л 
6
 R ставит в соответствие элемент 
ч 
• • <
Лх = (Лац, . . . , Лхт ), 
.
называемый произведением Л на х.
Показать, что R m — векторное пространство над полем R. 
• 
Ml
◄ Сначала покажем, что множество Rm является аддитивной абелевой группой- Дей­
ствительно, для произвольных X = (xi, . . . , 
Х т ) ,
У =
(j / 1 , 
. . . , 
У т )  И Z 
= (zi, 
, 
Z m )  
в .силу 
ассоциативности действительных чисел, имеем 
" 
" ’
Х +
(у 
+ Z ) =
(xi + (у! +
Z l ) , . . . , Х т  
+ (ут + Zm)) = 
' 
' ...... .
= ( ( a : i +
yi) 
+ Z l ,  • • • ! 
(xm
+ У т )  + Z m )  — (5£ 
йд
Обозначим в = О = (
0
, . . . ,
0
), тогда Vx € Rm выполняется равенство х + О • ^ (ад 
. .., 
Х т
+ 0) = (xi, 
Х т )
= X. Для любого X 
6
Rm ПОЛОЖИМ —X = (—*
1
, .14,. Т*<м)и 
тогда х + ( - х ) = (xi - z i, . . . , xm -
Х т )  
= (0, . . . ,
0
) =
0
. Наконец, в силу коммутативности 
сложения действительных чисел 
И
X +
у 
=
(xi 
+ У \ ,
. . . , 
Х т  + У т )  = (j/1 + * 1 , • • • , У т +
Хт)
 
= ( j f l .
У т )
+
( * 1 , • - •
, 
* т ) = У; f  X .
Следовательно, все четыре аксиомы абелевой группы выполнены. 
я С
Далее, из определений внешней и внутренней бинарных операций 
и 
свойств 
действнтелдо 
ных чисел непосредственно следуют равенства: 
, , -

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: