Докажем равенство б) (равенство а) предлагаем доказать самостоятельно). Так как

13. Действительные числа
п
3 6 . Найти сумму
S n = arctg i + arctg ^ + arctg ^ + ... + arctg
■4 Применим метод математической индукции. Поскольку
с 
. 
1
1
. 1
т + г 
2
.Ь, = arctg - ,
62
= arctg - + arctg - = arctg - ^
y
* i  = arctg 
3
.
1
— 
2
' e
2 
1 
- + -
3
S
3
= arctg - + arctg — = arctg ^
2
1а^ = arctg
1 _ 3 ’ 18
то можно предполагать, что 
А так как
S„ = arctg
n +
1
’
n 
6
N.
,Sn+i = arctg —
+ arctg 
= arctg - 
2(n+|)2
= arctg ” +
1
(D
■
* Ф
n +
1
2
(» + l
)2
■
n +
2
n + 1
2 (n - f l ) 2
и равенство (
1
) справедливо при n =
1
, то, согласно индукции, оно справедливо при всех я . ►
3 7 . Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального 
числа м справедливы следующие равенства:
а) Г +
22
+ . . . + п-
_ п(п +
1
)(
2
и +
1
)
б) I
3
+
23
+ . .. + п
3
=
(1
+
2
+ . . . + «)*.
◄ а) При п = 
1
равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при п; 
покажем справедливость его и при n + i . Действительно, 
, ,, 
'
1
+
2
+ . .. + п + (п + I
)2
=
2
_ 
1
l(n + l^{
2
ll +
1
)
+ (п + I
)2
=
2 _ (w + l)(w + 2)(2п -р 
3
)
6
 
, v- , 
• 
6
что и требовалось доказать.
б) 
При п = 
1
справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его 
при п следует 
^
I
3
+
23
+ . .. + п
3
+ (n + I
)3
=
(1
+
2
+ . .. + я
)2
+ (n + I
)3
=
п(п +
1
)
=
(1
+
2
+ . .. + п
)2
+
2
•
-(п + 1) + (я + 1)’ ;
Учитывая равенство 
1
+
2
+ . .. + п =
, получаем
13
+
2
3 + . .. + я
3
+ (п +
1)3
= (
1 + 2
+ . .. + „ + („ +
1))2
т. е. утверждение справедливо и при п +
1
. ►
3 8 . Доказать формулу бинома Ньютона
( „ . 1
\тг
_ \ Л /~ » т n - m t m
н ч
о ,
где Сп — 
~
т\(1
ТТ (число сочетаний из п элементов по m), А:! =
1
*2 . .. к , прнчем полагаю!'
tip
. 
I ip _ 
1
, 
*ч * •*
О! — 
1
. 
‘
■4 При и = 
1
имеем
<« + 
Ь)
» £
= 5Ш“ + ifk* = »+ *•
Остается показать, что из предположения справедливости утверждения для п следует, что .
п
+1
(а +
6
)п+‘ = ^
СГ+, an+
1
“ m
6
m.
.-!.к
>■ 
!: .’I.

28
Гл. 1. Введение в анализ
самом деле,
(a + 6)n+1 = (a +
b](a 
+ 6)n =
(a 
+ 6) 
С™ап~тЬт 
=
C n a n+i~mbm 
+ 
C Tan~mb
m+1
=
n+l
' 
=
C Tan+
1
~mbm + £
c r -
1
an+l- mbm = a
n+1
+ ] T ( C ? + C ? -
1
)an+l- mVn +
6
n+ l.
m=° 
m=1 
m=1
Используя соотношения
C Z + C ? - 1 =
----- ---------------+ ------------------- _____________ =
( » + 1 )-1 
=
r m
 
r > 0 
_ „ „ + ! _
ml
(n — m)! 
( m - ! ) ! ( « + 1 - m)! 
m ! ( n + l - m ) !
° n+1’ 
° n+1 ~ C n+i - 1,
окончательно имеем
n
n + l
(a + 6)n+1 = a n+1 +
CC+1a n+1“ m6m + 6n+1 =
C£*+1 a n + l‘ m 6m . ».
m=l 
m=0
3 9 . Доказать неравенство Бернулли
(1
+ * i)(l + ®2) . ..
(1
+ xn) ^
1
+ *» + x
2
+ . . . + xn,
где xi, x2, . .. , xn — числа одного и того же знака, большие —
1
.
◄ При п = 1, 
2
неравенство очевидно. Пусть неравенство справедливо при п. Покажем 
справедливость его при » +
1
. Имеем (при ж,- > —
1
)
( 1 + X l ) ( l + X 2 )
( l + * n ) ( l + * n + l ) > ( l + X 1 + * 2 + • • • + I n ) ( l + X „ + 1 ) =
— 1 +
X l  + Х 2 + . . . + Х п + X n + I + ( x j + Х 2 + • • • + * n ) l n + l ^ 1 + Х \  + Х 2 +
---- +
Х п  - f Х
„+ 1
•
Здесь использовано неравенство
(*i +
Х2
4- • • • + гц)гп+1 ^ О, 
справедливое при любых х,- одного знака. ►
4 0 .
Доказать, что если х 
>
—
1, 
то справедливо неравенство
(1
+ х)п ^
1
+ пх, 
п > 
1
, 
причем знак равенства имеет место лишь при х =
0
.
◄ Требуемое неравенство непосредственно следует из предыдущего примера, если поло­
жить там Xi = Х
2
 = . .. = хп = х. Если х =
0
, то V
t
* > 
1
имеем знак равенства. Покажем,
что при и > 
1
и х > 
—1
получим строгое неравенство 
(1
+ х)" > 1 + пх. При и =
2
это
очевидно: 
(1
+ х
)2
=
1
4
- 
2
х + х
2
> 1 +
2
х. Далее, если 
(1
+ x)n > 
1
+ пх, то
(1
+ x)n+l =
(1
+ х
)п(1
+ х) > 
(1
+ пх
)(1
+ х) =
1
+ пх + х + пх
2
> 
1
+ (и +
1
)х. ►
4 1 . Доказать, что если х, 
> 0
'ii — 
1
, п и x \x i . .. xn = 1, то
*1
+ Х
2
+ ... + х „ ^ п, 
(
1
)
при этом 
___
(Я
1
+ Х
2
+ ... + хп = «) 
(х, = 1 Vi = 1, п).
◄ Для доказательства применим метод математической индукции. При п =
1
неравенство 
(1) справедливо и при этом имеет место только знак равенства. Если п = 
2
и xjx
2
= 1, то 
обязательно один сомножитель, например x j ^ l , a x
2
^ l . Тогда из очевидного тождества
XI + Х
2
= Х\Х
2
+ 1 + (xi — 1)(1 — х2) 
(2)
и условия xix
2
=
1
следуют неравенство xi + х
2
^
2
и условие (xi 
4
- х
2
=
2
) 
(xi = х
2
=
1
). 
Предположим теперь, что для произвольных 
к  
положительных чисел 
Х\, 
х2, 
. . . , 
Х к ,  
про- 
. 
fc
изведение которых равно единице, справедливо неравенство ^ х; ^ к, причем

§ 3. Действительные числа
Рассмотрим произведение к + 1 положительных чисел ц , хг, ■ ■ ■, Xk+i , Для которых
ХЦ
2
. .. Хк+
1
= 1.
Если не все х, равны единице, то найдутся числа как большие, так и меиыйие единицы. Не 
ограничивая общности, будем считать, что ц  >
1
, х
2
< 1. Тогда, по предположению, для к 
положительных чисел (
2
:
112
), хз, ... , Хк+
1
, произведение которых равно единице, справедли­
во неравенство
(
2
:
12
:
2
) + *з + . .. + 
2
:fc+i ^ к, 
(3)
причем
(
2
:
12:2
+
2
:
3
-
1
- . .. + Xk+i ~ к) 
(
2
:
12:2
= хз = . . . = xk+i — 1). 
(4)
Складывая тождество (
2
) с неравенством (3), получаем неравенство
2:1
+
2:2
+ • • • +
2
:*.+! > к + 
1
+ (
2:1
-
1)(1
- х2) > к +
1
и условие
(
2:1
+
2:2
+ . .. + Xk+i = к +
1
+ (xi — 
1)(1
— 
2
:2)) ^ ((
2
:
12
:
2
) =
2:3
= ••• = Xk+i =
1
), 
из которого следует, что
29
(
2:1
+ Х
2
+ -.. + Xk+i = к +
1
) 
(
2
:; =r 1 Vi =
1
, к + 1). ►
4 2 .
Пусть Xi > 0, Xi € R, Vi =
1
, n, а

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: