Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

30
Гл. 1. Введение в анализ
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда Xit + у,- =
0
, г =
1
, га, т. е. когда 
существует такое число Л ф 0, что у, = Ах,, t =
1
, п, или когда все xi, г = 1, п, или все у, , 
1
=
1
, п, равны нулю. ►
Доказать неравенства:
4 4 . а) „! < ( ^ ) " , » > 1; б) (n
!)2
< ( i l ± l >&i + Ч J
, „ >
1
;
. 
1
3
В) 2 ‘ 4
2п — 1
2
п
1
у/2п
+ 1
◄ Неравенства а) и б) являются следствием неравенства г/„ ^
из задачи 42 при Хк = к 
и хк = к
2
(к — 
1
, п) соответственно.
Доказательство неравенства в) проведем с помощью метода математической индукции. 
При п =
1
неравенство очевидно. Предполагая его справедливым при п, покажем, что оно 
справедливо и при п +
1
. В самом деле,
1 3
2п - 1 2
п +
1 
1 
2
« +
1 _
1 
у/2
п 
+ 3 2n + 1 _
2 
4 
‘ ‘' 2« 
2« + 2 < у/2п + 1 ' 2п + 2 ~ у/2п + 3 у/2п + 1 2п + 2 “
_
1
/ 4п
2
+
8
« + 3~ ^ 
1
^
_ л/2и + 3 V 
4«2
+
8
и + 4 < у/2п + 3 '
45. 1 н— г= н— -= + ... н— -= > у/п , it ^  2.
у
/2
 
у Д
у/п
◄ При п >
2
имеем
1
Н 7= + —у= + . .. Н == > 
11
—-= = у/п. ►
у Д
у Д
у Д
у/п
46. п"+1 > (» + i)n, 
п
^ з.
◄ При « = 3 неравенство очевидно. Предполагая, что неравенство справедливо при п, 
докажем справедливость его 
и 
при п 
+ 1, т. 
е. докажем, что 
(п + 1)п+2 > (п + 2)n+1
, если
n n+i > ( « + !)".
Умножив обе части последнего неравенства на 
— , имеем
Но так как 
—2п+1
^ 
> (п + 2)n+1, то требуемое доказано.
47.
sin 
Хк
к= 
1
0
^ Хк ^ ж, к =
1
, п .
к = 
1
◄ При п =
1
неравенство справедливо. Докажем, что
жив справедливость исходного неравенства.
В самом деле, если 
0
^ Хк ^ т, то
Хк I cosin+i + cos ( 
] sinin+i
n+l
sin 
ifc =
fear 
1
sinE
x k
k= 
1
£
|COSSn+l| + COS 
E 
X k
fc
=1
n+1
sin J
2
x h 
fc
=1
SUi X 
^
n
+1
^
sin Хк, предполо­
жен l
Хк
fe= 
1
n
+1
+ sin 
^
sin Хк + sin 
x n+i 
— 
E 
sin я*. ►
fc=l 
*=»
4 8 . (2n)! < 22n(n!)2, » > 1.

•4 При « — 2 неравенство очевидно. Исходя из справедливости его для п, покажем* 
справедливость его для n + 1. В самом деле, 
~ 
• -’V г 
-}
(
2
« +
2
)! = (
2
» )!(
2
в +
1
)(
2
« +
2
) < 
22
п
(«!)
2
(
2
« +
1
)(
2
« +
2
) < 
V,‘ !. , ,Г 
'
< 
22
"(п!)
2
(
2
п +
2)2
=
2
2”+2((
п
+ I)!)2. ►
§ 4. Комплексные числа 
31
Упражнения для самостоятельной работы
30. Пусть {—ж} — множество чисел, противоположных числам х € {ж}. Доказать, что:
a) inf{—as} = —sup{x}; б) sup{—х} = —inf{x}. 
' *
31. Применяя метод математической индукции, доказать неравенства:
а) п! > п
2
, п > 
2
; б) (
2
п -
1
)! < n2n~l , п > 
1
; в) 
Jfcp < 
, п, р € N. 
, , .
fc=i 
р
32. а) Доказать, что для любого выпуклого «-угольника справедливо равенство 
^ где 
— число диагоналей.
б) Доказать, что для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение п+-вп — 
Рп =
2
, где В„ — число вершин, Р„ — число ребер, « — число граней.
33. Доказать неравенства:__________________
а) |xi + х
2
+ . .. + жп \ < \ / n ( x j  + х | + . . . + хЪ)\
б) (xi + х
2
+ ... + х„) ( ^ - + ^ + . . . + ^
^ «2, ц >
0
, t =
1 7
«;
в) \ / , § (г‘ - у<]2 4 &
+
34. Вычислить суммы:
а) 
1 1
! +
2
-
2
! + . . . + « • « ! ; б) I
4
+
2
* + ... + »4; в) I s +
25
+ . . . + п5.
35. Доказать, что: 
ч 
>,
XI 
к
(* + х) • • ■
(к
+ m - 1) = — ■« (n + 1) ... (« + ш),
где то — натуральное число.
Пользуясь этой формулой, вычислить суммы:
а) 
1
• 
2
+
2
■
3 + ... + « ( « + !); б) 1 - 2 - 3 + 2- 3- 4 + ••• + «(« +
1
)(« + 2);
в) 1 - 2 - 3 - 4 + 2- 3- 4- 5 + ... + п(п + 1)(« +
2
)(« +
3
).
36. Доказать, что
V ------ 1
“ Гj Ч * + 1 ) •-- 
( к + т )
— -L ( J
--------------!______ ^
т  у m! 
( n + l ) ( n + 2 ) . . . ( n + m —1) 
J *
где т — натуральное число.
Пользуясь этой формулой, вычислить следующие суммы:
а ) 1.2 + 2-3 
+ п ( п + 1 ) ’ 
®) 1-2-3 
2-3-4 + • • • + „ ( п +
1
) ( „ +
2
) >
В ) 1 -2-3-4 
2 -3*4-5 + • • • + ^ 7
37. Решить уравнения:
( n + l ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) '
а) \х +
1
| + |х| + |х -
1
| =
6
; б) х\х + 
2
| - \ж +
1
| - (х +
1
)|х| +
1
=
0
.
§ 4. Комплексные числа 
• Л
4.1. Комплексные числа и действия над ними.
О п ред елен и е. Комплексным числом z называется упорядоченная пара {ж, у) Йе#* 
ствителъных чисел ж
и у. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных явр>. 
а. также отождествление некоторых из них с действительными числами опредеяякты
)0 
следующим Образом:
1
) два комплексных числа z\ = (xi, yi) и Z
2
= (Х
2
, j/
2
) называются равными, если Х\ *s 
Х
2
и ух = У
2
 ; 
■
>51-

32
Гл. 1. Введение в анализ
2
) суммой комплексных чисел zi и Z
2
называется комплексное число z вида
z = (х 
1
+ Х
2
, Vi +
2
/г);
3) произведением комплексных чисел z\ и Z
2
называется комплексное число
Z
= ( * 1 1 2 - J/1 J/2 , *1 2 / 2 + * 2 2 / 1 ) ;
4) множество комплексных чисел (*, 0), t
6
R, отождествляется с множеством дей­
ствительных чисел R.
Разностью 
ком плексны х чисел 
z\ 
и 
z%, 
н азы вается комплексное число 
z 
такое, что 
Z
2
+Z = 
zi
откуда находим г =
z\ —
г2 = (* i — *
2
, 
3/1
— г/г)•
Частным 
комплексны х чисел 
z\ 
и 
Z
2
назы вается комплексное число 
z 
такое, что гг 
■ z = 
z \
. О тсюда находим
(
*
1
*
2
+
2
/
12/2
*
22/1
— *
12/2
)
*
1
+
2/1
’ 
*1
+
2/1
Комплексное число (0, 1) обозначается Символом i = (0, 1). Тогда (0, 1) • (0, 1) = (—1, 0), 
т. 
е. i
2
= — 
1
. Произвольное комплексное число z можно записать в виде
г = (*, у) = (*, 
0
) + (
0
, у) = (*, 
0
) + (
0
, 
1
){у, 
0
) = * + iy.
Э та запись н азы вается 
алгебраической формой 
комплексного числа. Ком плексное число 
z =
(*, —у) = х — iy 
назы вается 
сопряженным 
по отношению к комплексном у числу 
z = (х, у) =
* + 
iy.
4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Всякое комплексное число z = (*, у) можно изобразить как точку на плоскости с ко­
ординатами * и у. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется 
комплексной плоскостью, при этом ось Ох называется действительной, а О у — мнимой.
Расстояние г точки z от нулевой точки, т. е. число г = \ / х
2
 + у
2
= yfzi, называем 
модулем комплексного числа z и обозначаем символом \z\.
Число
arctg J , 
если * > 
0
,
„ 
arctg % + /г, 
если * <
0
, 
у > 
0
,
и — \
v
arctg f  — ж, 
если * <
0
, у > 
0
,
. § sgn У,
если * =
0
называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом в — arg z. При заданном 
г углы, отличающиеся на 
2
шг, п 
6
Z, соответствуют одному и тому же числу. В этом случае 
записываем Arg z = arg z + 
2
шг, n 
6
Ъ , и arg z называем главным значением аргумента. 
Числа г и в называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае
z = (*, у) = (г cos в, г sin в) = г (cos в + i sin в)
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если 
21
= ( n cosбх, ri sin 0i), 
22
= (Г
2
cos02, r
2
sin 
62
), то
z iZ
2
= ( n r
2
cos(0l +
62
), Г
1
Г
2
sin(0l +
82
)),
f2
= ( ~
- 02)’
sin(*l -
в2)) ■
Для возведения в степень комплексного числа z = (г cos в, г sin в) применяем так называ­
емую формулу Муавра
zn = (rn cos пв, r n sin пв).
Корень n-й степени комплексного числа z находим по формуле
в + 2 к п
п
в + 
2
кж
■
 
2
к п \  
п 
)
к =
0
, п — 
1
.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: