◄ Полагая в теореме Архимеда b — а = 1,приходим к неравенству по • 1 > j-, по € Z. А так как j >
0
, то n по, я g N, справедливо неравенство п > »»о > - или
i < e . ►
2 9 . Пусть л и /3 произвольно заданные действительные числа, причем a < /3 . Доказать,
что существует рациональное число г,заключенное между числами а и Д.
◄ Обозначим h = /3 — а. Согласно предыдущему примеру, 3n g N такое, что
- < h. ' (
1
)
я
'
Согласно теореме Архимеда, существует т g Z такое, что
m
я
< а <
m -f
1
я
Отсюда и из неравенства (
1
) получаем
т + 1
т
1
о < ------- = -----
1
—
я
я
я
< п + h = а + /3 — а = /3. •ii.
Таким образом, a =
< (3. ►
3 0 . Показать, что множество всех правильных рациональных дробей — , где т и п —
п
натуральные числа и
0
< т < я, не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти
точную нижнюю и точную верхнюю грани этого множества.
◄ Пусть т и я
(0
< т < я) — любые натуральные числа. Тогда из очевидных неравенств
гп
2 т 2 т —
1
„
m
2
m
2
m
+ 1
— = > — ---- >
0
,
— = ---- < ---- —— <
1
я
2
я
2
я
я
2
я
2
п
следует, что множество правильных рациональных дробей не имеет наименьшего и наибрль-:
шего элементов.
Покажем, что
inf
{ ^ } =
0 , а sup
=
1 . Согласно теореме Архимеда, для произвольно заданных е > 0
и т g N найдется такой'
я g N, я > т , что я >
Тогда ^ < е. Отсюда и из неравенства ^ > 0 следует;
что inf { ^ } =
0
. Аналогично для произвольно заданных е >
0
и р g N найдется такое
натуральное число т, что т > . Отсюда
> 1 — е, т. е. при п = р + т имеем
— > l — е, а это вместе с неравенством — < I означает, что sup { — | = I. ►
>
3 1 .
Пусть {х + у} есть множество всех сумм х + у, где х g {х} и у € {у}. Доказать
равенства:
а) inf{x + у} = inf{х} + inf{y}; б) sup{x + у} = sup{x} + sup{y}.
f
,
’
■4 а)
Так
как из х ^
т, х g {х}, и у
J
т р у £ {у}, следует, что х
4;
У ^ rft^ -m j,,.
(я + у) g {х + у}, то сущ ествование inf { х} =
т* и inf {у} =
т* влечет за собой
существование
26 Гл. 1. Введение в анализ inf {ас + у}. Ясно, что т + у ^ то* + ш*. Далее, для произвольного е > 0 существует такой
элемент (ас' + у') £ {* + у}, что
то + т 1 ^ т + у < m + а»! + е, поскольку существуют такие х' £ {а:} и у* € {у }, что то’ ^ х ’ < то* + ^ и т \ ^ у' < то* + Следовательно, in f{* + у ) = я' + у ' = inf {я} 4- inf {у}. Равенство б) предлагаем доказать самостоятельно. ► 3 2 . Пусть {ту} есть множество всех произведений т у, где т 6 { т J и у € {у }, причем О 0, у > 0. .Доказать равенства: a) inf {ту} = inf {т } inf {у}; б) sup{*y} = su p{x} su p {y}. 4
