Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

38
Гл. 1. Введение в анализ
а произведением матрицы А на число А € R — матрицу
1
(
Aan
Adi2
*• Aoin
АЛ =
Aa21
Xo>22
.. A02n
1
1
Aami
Aflm2
• • A0 rnn
Показать, что £Щ — векторное пространство над полем К.
◄ Множество 9Л матриц А = (а,у) размера 
т
х
п можно отождествить с пространством 
Rmn векторов х = (оц, . . . , гцп, . . . , ami, . . . , ат п ) при помощи взаимно однозначного соот­
ветствия (ajj) <-> (a n , ■.., aln, . . . , ami, • • •, ат„). При этом для любых (а,,) 
6
£Щ, (bij) £ £ДО 
и А € R
(n,j) “I" (^tj) 
(йц -(- 
Ь
ц
 , ... ,
ain 4“ bln, ■ ■ ■ , flml Ф bml, . . . , 
Q
m
n
“b bmn),
A(au ) <-*■ (Aan, . . . , Aaln, . . . , Aami , • * *, Aamn)
(т. e. пространство £Щ изоморфно пространству Rmn относительно сложения элементов из 
{Щ и умножения на скаляры поля R). Таким образом, {Щ — векторное пространство над 
полем R. ►
58. 
Доказать, что пространство R m превращается в нормированное векторное простран­
ство, если для произвольного х = (xi, x-z, . . . , х т), х 
6
Rm, положим
||х|| = y jx \ + х\ + . . . + х 2т. 
(
1
)
◄ Для доказательства достаточно проверить выполнение аксиом 1)—3) пункта 5.2.
1) Очевидно, ||х|| > 
0
и (||х|| =
0
) &  (х = О).
2) Для любого х 
6
R m и VA £ R имеем
|| Ах|| = l/(A * l
)2
+ (А
*2)2
+ . . . + (Al
m)2
= л/ V у / х \  + х\ + . . . + х2
т = |А| • ||х||. 
3) Покажем, что для любых х = (zi, х2, ■ ■ ■, Ят) и 
у
= (j/i, 
3
/
2
, . . . , ут)
Цх+У| | < М + ||у||.
Записывая неравенство (
2
) в координатной форме
(
2
)
. Ё ( * . + у,)2 < 
\ ■=!
и возводя обе части в квадрат, после упрощения получаем неравенство
т
»=i
(3)
эквивалентное неравенству (
2
). Неравенство (3) называется неравенством Коши—Буня- 
ковского; его справедливость уже доказана (см. пример 43). Следовательно, равенство (1) 
задает норму в Rm. ►
59. 
Доказать, что векторное пространство 9Л, элементами которого являются матрицы 
размера ш X н, является векторным нормированным пространством, если для произвольной 
матрицы А = (a.j), i = 1, m, j = 1, и, положить
m
n
i h i h
E E
i
^
i
-
■=i j=i
(i)
◄ Выполнение первой аксиомы нормы очевидно. Далее У А € М и У .А £ 9 Л имеем
т
п 
т
п 
т  
п
II A
j
4|| =
К 'I = |А |‘ 1И11,
t = l J = 1 
1
= 1 j s s l
1
= 1 J = 1
t
. 
e. вторая аксиома также 
в ы п о л н я ется.

§ 5. Векторные и метрические пространства
39
Остается проверить выполнение неравенства треугольника. Пусть А, В  
6
£ОТ — проиэ- 
вольно заданные матрицы размера m х w, тогда 
i: •
m
n
m
n
m
n
m
n
u
+ *
ii
= E £ ley+ *y i ^ E
+
i m
>= E E iai>i+ E £ ib»i = м и + «*н-
i=l j=l 
i=l j=l 
*=1
>=1
i=l j= 
1
Таким образом, все аксиомы нормы выполняются, а поэтому равенство (1) задает норму 
в ОЯ, превращая его в векторное нормированное пространство над полем R. ► 
.i x.v
6 0 .
Пусть С множество всевозможных ограниченных функций 
/ : [а, 
6
] —►
 R.
Показать, что множество С становится векторным нормированным пространством над 
полем R, если для произвольной функции / положить
11/11
= sup |/(« )|.
*€[а,Ч
(
1
)
М Легко убедиться, что С является векторным пространством над полем R, если 
равенство
( / + д)(*) = /(* ) + я(х), 
х 
е 
[а, 
6
]
определяет сложение в С, а
(А /)(.) = А /(*)
— умножение на скаляр поля R.
Остается проверить, что для числа ||/||, определенного формулой 
(1), выполняются все 
аксиомы метрики. 
V-
1)
Поскольку 
|/( х ) | 
^
0, 
то ||/|| = sup 
|/( х ) | 
^
0; 
кроме того, ||/|| =
0 
тогда 
и только Тогда, 
когда |/(х )| =
0
, т. е. когда / : [а, 
6
] —►
0
, а такое отображение является нулевым 
элементом 
векторного пространства С.
2
) Для произвольной функции / € С и любого 
А 
€ R имеем
1|А/|| = sup |А /(т)| = sup 
|А ||/(х)| 
=
|А| 
sup |/(х )| = |А |||/||. 
' г .
*€[a,
6
] 
я€[а,
6
] 
:r€[a,
6
j
3) Из неравенства треугольника для абсолютного значения и свойств точной верхней гра­
ни следует неравенство 
' ’
!/(*) + g (* ) l< l/(* ) l + |g (* )|< sup |/ ( x ) |+ s u p |g(x)| = Ц/|| + ||g|| V / , g 
6
С, V г € [a,
Поскольку множество (|/(x ) + g(x)|}, x £ [a, 4], ограничено числом ||/ ||+ |g||, то точная верх­
няя грань этого множества, которая, согласно равенству (
1
), равна ||/ + д | , также ограничена 
этим же числом. Следовательно,
sup |/(* ) +«Кх)| = ||/ + д \ \ ^  ||/|| + У
1
,
®€[а,
6
]
что и завершает проверку аксиом метрики. ► 
;
6 1 .
Показать, что для произвольного векторного нормированного Пространства
5
1? *= , 
{ж, у} z, . . . }  справедливо неравенство 
1
: /
П 1 * 1 Ы Ы 1 К 1 1 * -
у
11-
М Согласно неравенству треугольника,
1М1 = Н ( * - » ) + 9 К 1 |* - 9 || + 1М1,
откуда
11
*
11
-
1
Ы К I I * - у ||-
Меняя местами х и у, имеем
IMI -11*11 < II» - *11 = И(-1)(* - g)II = I - 1| • II* - у|| = II* - у||
или
- н * - » н <
11*11
-
1
Ы
1
-
Из (2) и (3) непосредственно следует (
1
). ^
0)
№
(з)

40
Гл. 1. Введение в анализ
6 2 . Доказать, что векторное пространство ЯН (см. пример 59) становится евклидовым 
пространством, если для произвольных двух элементов А = (а,}) и В = (Ь,у) положить
т
 
и
(A,B) = j2H2aiibi*'
i=i 
i
• “4 .Для доказательства достаточно проверить, что {А, В), определяемое равенством (
1
), 
удовлетворяет четырем аксиомам скалярного произведения (см. п. 5.3). Выполнение трех 
первых аксиом непосредственно следует из определения числа (А, В):
т
п
т
п
1
) (A, B ) = Y l t 2 ah k j  = Ё Ё
= (в > А)\
t = l J = l 
j = l
2) для произвольных матриц А = (а;>), В = (
6
ij) и С = (c.j) имеем
тп 
гг 
т
п
т
п
(
а
+в, с)
 = 
^2
 Ё(о,'>+Мсч = Е Е
oijcij
+
е
 
^2 b'3cii
 = и. с> + (в>с);
1 = 1 j = l
1 = 1
3
= 1
1=
1 
3 = 1
3) пусть УЛ 6®1 и V А 
6
R, тогда
т
п
т
п
(АЛ, В) = 'У ^ 
Xajjbjj = \ У '  
= А(Л, 5);
t = l J = 1 
t a i l j a i l
.4) для любой матрицы А еОЯ находим
т  
п
м, >i) = E E 4 .
i=i j=i
откуда следует, что (А , Л) ^ 0 и (А, А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы ма­
трицы А  равны нулю, т. е. когда А — в, где в — нулевой элемент векторного пространства 
Ш1. Следовательно, выполняются все аксиомы скалярного произведения, т. е. равенство (
1
) 
задает скалярное произведение в векторном пространстве ЯП, поэтому ЯП— евклидово про­
странство. ►
6 3 .
Показать, что нормированное векторное пространство 
Е  = {*, у, 
z, 
. . . } 
становится 
метрическим, если для любых элементов 
х 
и 
у 
из 
Е  
положить
р(*> у) = ||* - у\\.
•4 Покажем, что Выполняются аксиомы метрики (см. п. 5.4). Действительно, из свойств 
нормы вытекает, что: ■
1) />(*> У) = II* — 3/|| ^
0, причем 
р[х, у) =
0 тогда и только тогда, когда 
х — у = в, 
т. е.
2) р( х, у) 
= 
||* - у|| 
= 
||(—1)(з/ - z)|| 
= 
| - 1| 
• 
\\у 
-  *|| - ||з/ - *|| 
= 
р(у,
*);
3) р( х, у) = ||* - з / || = ||* - z + z -  у|| < ||* - z | | + \ \ z - y \ \ = р( х, z) + p( z , у) V *, з/, z € Е.
Следовательно, все аксиомы метрики выполняются, поэтому Е  — метрическое простран­
ство. ^
У пражнения для самостоятельной работы
52. Доказать, что множество C{f, д, h, . . . } всевозможных отображений множества Е в 
векторное пространство F  над полем К само является векторным пространством над тем же 
полем К.
53. Показать, что множество комплексных чисел С образует векторное пространство над 
полем действительных чисел К.
54. Показать, что векторное пространство Rm становится нормированным, если для лю­
бого элемента х = (*i, *
2
, . . . , *m) норму ||х|| введем одним из следующих равенств:
а) НХН = |* || + |*г| + . . . + |*ш| (октаэдрическая норма);
б) ||х|| = max |*i| (кубическая норма).
1
<
1
< т

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: