Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

б) Пусть е >
0
— произвольное и *о € К. Тогда
§ 8. Непрерывность функций
\х - ж 0| = |( ж - х 0) +
2
т 0(т - Хо)| ^ |г - т
0
|
2
+
21
*
0
(
1
.;,. 
как только |х — х0| < \/\ хо\ 2 + е — |х0| = ft.
2
№>Н е.в
в) Пусть е > 
0
— произвольное, но такое, что 
0
< е < 
1
. 
Имеем 
I з 
Хо||х — *0|. Пусть |* — *о| < 1. Тогда |*| < |*0| + 1, поэтому 
11
"
как только
I
®3
- *о| < (3|х
0|2
+ 3(х
01
+
1
)|* - *0| < е,
f?
=  ft.
. ' ч> 
+
* * 0
+
х — 
*0
<
3
|*о|2 +
3
|*о| + 
1
г) Для произвольного е > 
0
и 
*0
> 
0
имеем
I / — 
/— I 
\х
* о |
| х
Х о |
если |* — *0| < s^/xo = ft.
д) Для любого е >
0
и *о € R \{
0
) имеем
| \/х — ^/хо | =
\х — *о
\х -  хо|
у
*2
+ ^
+
i / x i  
( ^ +
1 ^ ) 2
+
| < т Щ
:<щ> ;
если |* — *0| < — y i c f е = #.
с :
"■
’■
• '•Чо, .... 
-Ч]
Непрерывность функции в точке *о = О следует из неравенства |^/* | __ з г.— 
вого при |*| < е
3
= ft. 
v l* ] < е
е) Для любого е >
0
имеем 
| sin х — sin *о| =
’ сг,Раведли_
„ . Х — хо 
X +
*0
2
sin — -— c o s--------
2
2
^
2
\х — *о
* о | <
при |* — *
0 1
< 8 — £.
ж) Аналогично предыдущему
cos х — cos *о =
. 
* — * о . 
х
+ * о
<
\х —
Хо| 
< s
'' 
■ • lit (f,
■
V !SK,lv:.,,r }.
при |* — *0| < ft = £•
з ) П у с т ь [ * o | >
0
и |Л| = I * — * o | < | x o | . Е с л и a r c t g
(xo + h) —
a r c t g x
0
=
t,
t o
t g t — 
a
а т а к к а к | t | $C | t g t | п р и [l| <
t o
'‘ + a ’o + * o V
l
<
|arctg(*
0
+ f c ) - a r c tg *o| = |t| < |tg t| =
2
, и
1
+ *o + ft* о
III 
I 
1 . ( 3 + Xo) £ 
£
если 
ft = * -
* 0
< V -—:—
7
— = *• 
1
+ i o «
|ft(
3 + xo ~ |Л| |*o|
< e,
Непрерывность функции x i—> arctg x в точке * =
0
следует из неравенства
jarctg х — arctg 
0
| = jarctg *| < |*|. ►
Исследовать на непрерывность следующие функции:
Х ~  7Г /4 + 7Г
2 5 0 . f ( x ) = ( -
1
)
◄ Пусть
* -
7
+ 7Г
(cos X -f sin ж) + 2
у
/ 2  
= п } тогда х принадлежит
а;— 7 Г / 4 + 7 Г
* € R.
полуинтервалу |(« — l)rr +
4
i n ?r ,+ л [•
Сужение функции / на каждый из полуинтервалов [(« -
1
)тг +
пГ + f [, п € Z,
* ь-> (—l)"(cos * + sin *) +
2 \ / 2
п
(1)

100
Гл. 1. Введение в анализ
непрерывно. Остается проверить непрерывность функции / в точках П
7
Г + J , П 
6
Z. Из (1) 
находим
/ (п т + Т — °) =
lim 
( - l ) ” (cos х + sin x) + 2V2n = y/2 (
2
« +
1
),
^ 
4
/
х —
*П7г+ — —О
4
/ ( ( » - 1)т + ^ = (- 1 )" (cos ((в - 1)т + ^ + sin ((« - 1)т +
) + 2 \ / 2 ( n - 1). 
(2)
Далее, полагая в (2) вместо 
п
число в + 1, получаем
/
( « т
+ ^ = ( - l ) n+1 (cos ( в т + 0 + sin (п т + 0 ) + 2i/2(n + 1) = л/2 (2в + 1).
Итак, значения функции / в точках « т + j , п € Z, равны ее соответствующим предельным 
значениям слева в этих точках. Поэтому функция / непрерывна в каждой из точек п т +
п 
6
Z. 
А так как ранее установлена непрерывность во всех промежуточных точках, то она 
непрерывна на всей числовой прямой. ►
Г
2
Х 
^ 
^ \
, х 
ф
«т 
+ ^
, 
/
(п т 
+ 
— )
= 
пт, 
n e Z , х е к .
2 5 1 .
/(х ) = arctg 
+ т
2
т
Л Если 
= в
на каждый из интервалов
х ф п 
7
г 
, п € Z, то х €
— , птг + - [. Сужение функции /
+ j [, 
« 6
2
, есть непрерывная функция
tj£ X
arctg -^=г + пт. 
V
2
Остается проверить непрерывность функции / в точках в т + | , в € Z. Имеем
/ ( » * + ! -
/ (П
7Г + | + °)
o') =
lim
/ 
I
'
“■"*
"*+2
lim
X—.ЩГ+ ^+0
(arctg 
+ пт
т
= ,i" +
2
’
wctg ^ = - + (n +
1
)
t
^ =
7Г
« Т + - .
Таким образом, / (п т + ^ - о) = / (п т + | + о) Vn е z , и, следовательно, функция / непре­
рывна на К . ►
2 5 2 . /( х ) = [х]([х] — (—1)1*1 cos тх ), х € R.
◄ Пусть [х] = в , тогда в ^ х < в + 1, в g Z. Сужение функции / на полуинтервалы 
[п, « +
1
[, n € Z,
X 
1
-» я(п — (—
1
)” cos тх)
непрерывно. А т а к как значение / ( в ) = п(в — 
1
) равно предельному значению слева / ( в —
0
) =
х 
_
~ ^ ~
( ~ ^ ) П _ 1
cos жх) — п (п ~
1
)> то функция / непрерывна на множестве R. ►
2 5 3 . /( х ) = [х], X € R.
Если fc ^ х < к + 
1
, к 
6
Z, то [х] = fc, и, следовательно, / — непрерывна. Если 
же Хо =
fc, 
то /(fc) 
=
fc, /(fc 
— 
0
) =
lim [x] =
fc — 
1
, т. 
e. 
функция / терпит разрыв при
х-+к—
О
хо = fc, fc € Ъ. ►
Определить точки разрыва и исследовать характер этих точек, если:
2 5 4 ‘ /( г ) = ( Г Т ^ ’ * ф ~ х' /(_ 1 ) = °-
Л Имеем
lim 
f i x )
— — оо; 
lim 
/( х ) = - оо,
х — - 1 - 0
х - . - 1 + О 
W
следовательно, х =
— 1
есть точка разрыва типа полюса. ^
i____ i_
2 5 5 . f i x )  = f r - f t f , X 
6
K \ { -
1
, 
0
, 
1
}, / ( -
1
) = / (
0
) = / (
1
) =
0
.
х — L 
х
■* Функция / непрерывна при х € R \{ —
1
, 
0
, 
1
} как элементарная. Поскольку
lim 
f i x )
х
—*—1
±0
lim
х — 
1
-----
1±0
X + 
1
фоо; 
lim f i x ) = lim ----- -
х— 0 
х—.0 X 1
- i ;
lim f i x )  = lim - — ^ =
0
,
x - l
K f  
x — 1 X + 1

§ 8. Непрерывность функций
101
то 
х
— — 
1
есть точка разрыва типа полюса, 
х
=
0
— точка разрыва первого рода, а в точке 
х =
1
функция / непрерывна. ►
256.
/( х ) = cos
2
i , х ф 
0
, / (
0
) =
1
.
■4 Пусть х„ = уу, уп = (
2
п'и р г ’ ” ^ 
Тогда г „ -»
0
, ?/„ —►
0 при п —*■
оо, 
однако 
/ ( i n ) —►
1 
, 
а 
/(у „) —►
0 
при 
п — оо. 
Следовательно, 
lirn f i x )  
не существует 
и х = 0 — 
точка
х — 0
разры ва второго рода. ►
257. 
/ ( х )
= 
arctg 
—, 
х
0, /( 0 )
= 
0.
■4 Пусть е > 0 — произвольное. Тогда существует х
0
> 0 такое, что 
у- 
>
tg 
( f — е), 
откуда 
tg 
уу > f — е. В силу возрастания арктангенса для 
0
<
х 
< хо и подавно arctg у > f —е. 
т. е. 
lim arctg - = у.
х —+ 0
■
X 
г
Аналогично показывается, что 
lim 
arctg — = — у . Следовательно, 
х 
=  
0
— 
точка разрыва
.г ——О 
х 
2 
1
первого рода. ►
2 5 8 . /(*) = ---- Ц - , х 
Ф
о, х 
Ф
1
, /(о) = / (
1
) = о.
1
— е
■4 Имеем
Нш
х —
± 0
1
lim
х — ±и
1
— е »-* 
1
— е 
1-1
точка разрыва типа полюса. Далее,
1
-
фоо
X
lim
1
— 
1-0
=
0
, 
lim 
1 — 1 + 0
=
1
.
1
- е » - *
1 
— е 1- *
поэтому 
х
= 
1 
—
точ ка р азр ы ва первого рода. 
►
259.
/ ( х )
= х [х ], х £ R .
◄ Если 
[х] 
= н, 
то 
х £ [п, м + 1[ и суж ения ф ункции / на полуинтервалы [», 
п
+
1
[
X I—►
их, 
х 6 [п, и + 1[,
непреры вны при 
любом п £ Z. 
А так как / ( « ) - it2, / ( и
— 
0) = lim 
(п — 
1)х = (n 
1
)», 
то
х
—
0
точки х = п являются точками разрыва первого рода. ►
260.
/ ( х ) = [х] sin 7ГХ, X 6 R .
■4
П усть [х] = и , тогда н ^ х <
и +
1 и суж ения ф ункции / на [в, м + 1[ 
л
- 1 1
sill х х , х g [it, it + 1[, n € Z,
непреры вны . О стается исследовать непреры вность в точках х = n , » € Z . 
Имеем 
/ ( » ) = itsin хн = 0, / ( п — 0) = lint (» — 1) sin хх = (n — l ) s i n x n = 0,
т. e. / ( it) =
f ( n
— 0) и функция / непрерывна на 
R. 
►
2 6 1 . /( * ) = * 
[i] 
, x / o , / (
0
) = l.
■4 Функция / непрерывна на каждом из полуинтервалов ууу < 
х 
^
п 
6
2 \ {
0
}, 
поскольку ее сужения х i-> пх на эти полуинтервалы непрерывны. 
Далее, / ( у ) =
1
,
/ ( у +
0
) =
lim х [у] = у у - , поэтому в точках х = у , и € Z \{
0
}, функция / терпит
д-i+ O
П
разрыв первого рода.
Рассмотрим неравенство
it
и +
справедливое для 
х 
£ ] 
уцу, 
у [ , м 
€ 
N. Если п 
—
+ оо, то х 
—
. +
0
, и из (
1
) следует, что 
lim f i x ) = Km х Г-1 =
1
.
х
— + 0
J  '
х
— + 0
L x j
<
П +
1
(
1
)

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: