Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

96
Упражнения для самостоятельной работы
Найти точную верхнюю и точную нижнюю грани функции / : Е  —*■ F. Указать точки 
х, у € Е  (если они существуют) такие, что /(х ) = sup{/(x)>, f ( y ) = inf {/(х)}.
• i - /(* ) =
^
1*1 < !• 
92- /(* ) = * e ] - i , i[\{
0
}.
93. / ( x ) =
x2, 1 < x < 2. 
94. f ( x )  = x2, - 1 ^ x ^ 2.
95. f ( x)  =
|
^ x K 2 96. /(x ) = arcsin(sinx), i € l .
97. /(* ) =
arccos (cos x), 
x € R. 98. f ( x)  = arctg 
x ф 0, /(0 ) = 0.
99. Определить колебание функции /(* ) =
х € М\{0}, на интервалах:
а) ]10-т, 10-6[; б) ]1 0 -" -ж, Ю-"[; в) ]10-", 10“ [; г) ]Юв, Ют[; д) ]10“ , 10"+1[.
100. Определить колебание функции /(х ) = sin - на интервалах:
а ) 1 
* 2 0 ^ [ ’ ®) l l o i T ’ 3 5 7 [ ’> в ) ] 2 n ir+ ir> ш г[> Г ) ] 4 n ir+ ir ’
Показать, что:
101. (1 + х)" = 1 + пх + —п~1^х2 + о (х2) при х —* 0.
102. х + cosx = 0(1) при х —►
0.
103. е-1 (1 + х - 1)1 = 1 - ^х-1 + 0 ( х -2 ), х > 2.
104. (1 + х + 0 ( х -1 ))* = ех* + 0(х*~1) при х —►
оо.
105. (хеа*_п)" = 0(е*2+х), х > 0.
106. а) е ° ^  = 1 + о(х), х —> 0; б) о (/(* ) ■ д(ж)) « о (/(* )) . 0(д(*)), х ^ х 0.
107. (/х = (/xg + ^ ^ x j "(х - х0) + о (х - х0), х —►
х0.
Найти пределы:
108. Urn 
Ю9. Иш
*-*0 
>/1+б х ~ 1
* —*-0 
>/1+ 2* + * —
110. lim 
111. Urn
!_ o
v “+ *—v“—* 
i_ o arcsm 
i
+
i
 • 
1 1 2 . lim —*------- . , - Y---------.
i 
о 
sln *
l l 3 . u „ ( s a t = i 4 ) • , >
o. 
114. « » t  (
_
,
)
,
115- J " £ (
e N- l l e - “S. g » S r , , € N.
11T- 2 5 ^ Д 0 + 7^1-) . p e n -
118. Доказать неравенства
Гл. 1. Введение в анализ
у '
x-> l l
k=l
где x k > 0, 0 
Afc < 1 (k = 1, »), ^ A, = 1.
» = 1
119. Пусть: 1) 0 ^ Xkn ^ 1; 2) Y1 *kn ~  ^ 3) Km 
_ n 
,
n—oo nfc — 0 при каждом фиксированном
n
к; 4) x„ > 0, « 6 N; 5) lim x„ = l. Тогда lim Q x*fcn — j
n —*0 0  
71—.OO д.= j
Найти пределы:
(1—sin x)(cos2 x+1)— 1 sin 2a:
120. Inn --------------- a------ 3------ .
121. Urn — V * " , 
122. lim 
• 123. Urn 
£
124. lim 
125. lim 
• 
126. lim -^ 7 + a » -i
x - * o o  ' 2 + a: 
J
 
* _ + oo 
ln(l 
+ * J ) 
* - ~ 0
--------- •

§ 8. Непрерывность функций
97
Найти I = lim /(х ) и L = lim f ( x) ,  если:
п
—*&о 
п —*о
о
127. f {x)  = sin х + cos(x\/2). 128. /(х ) = sin2(x\/2) + 62 cos2(x\/2).
129. /(х ) = sin2(x-\/2) — (1 + sin2 х)2. 
130. /(х ) = (l + i) * sin2 х.
131. /(* ) = (1 + i ) +
*• 
182. f ( x)  =
§ 8. Непрерывность функций
8.1. Определение непрерывности функции.
О п р ед ел ен и е 1. Функция / : X —* R, X  С К, называется непрерывной в т о ч к е
хо G X , если выполняется одно из эквивалентных условий:
1) Ve > 0 36 > 0 : (Vx € X )  (|х — х0| < 6) =>■
| / ( х ) - / ( х 0) | < е ;
(1)
2) для произвольной последовательности (хп) значений х„ € X , сходящейся при п —. оо 
к точке х0, соответствующая последовательность (/(х „ )) значений функции сходится при
п —* оо к /(хо);
3) И т /(х ) = /(хо) или /(х ) - /(хо) -»■ 0 при х - х0 -► 0; 
а--*л?0
4) 
> 0 3 6 > 0 такое, что
/(]х 0 - 6, Хо + 6[) с }/(х0) - е, / ( х 0) + е[
или, 
что то же самое,
/ : ]х0 - 6 , х 0 + 6[ -*• ] / ( х 0) - £, /( х о ) + е[- 
И з определения непреры вности ф ункции / в точке хо следует, что
lim /(х ) = / [ lim х
ж —►хо 
k kq
О п р е д е л е н и е 2. Если функция /
непрерывна в каждой точке интервала 
]а, Ь[, 
то
функция 
/
называется н епреры вной на 
этом интервале.
О п ред елен и е 3. 
Функция 
/ : ]ы, хо] —» R ( / : [хо, 6[—» R) называется непрерывной в 
точке хо слева (справа), если выполняется 
одно 
из 
эквивалентных условий:
1) Ve > 0 36 > 0 
такое, что 
неравенство (1) выполняется, как только Хо — 8 < х ^ з»о
(хо ^ х < хо + 8);
2) 
для произвольной последовательности 
(х„) значений х п 6 ]а, хо] (хп € [хо, Ь[)» схо­
дящейся к 
точке 
хо, соответствующая 
последовательность ( / ( х п)) значений функции /
сходится к 
/(хо);
3) 
lim / (х) = /(хо) ( lim / (х) = /(хо) ) или, короче, если /(хо — 0) = /(хо) (/(хо +
ж - к Г о —0
ед;0 + 0
У
о) = /(* о));
4)
Ve > 0 3 
8 
> 0 
такое, что
/ ( ] х 0 - 6, х0]) С ] / ( х 0) - е, / ( х 0) + е [ (/([хо, х0 + 6[) С ]/(хо) - е, /(х о ) + е[)-
Функция f : X —* R непрерывна во внутренней точке хо € X тогда и только тогда, 
когда она в этой точке непрерывна слева и справа.
Теорема 1. 
Если функция 
g : Т
X , Т  
С 
R, X  
С 
R, непрерывна в точке to € Т , в
функция 
f : X  
К непрерывна в точке Хо ё X , где хо = у(<о), то композиция / о g : Т —►
R
непрерывна в точке to .
Теорема 2. Пусть функции f : X -* R и g : X
Ш, 1 с ® , непрерывны в точке
хо € X . 
Тогда 
функции
f + 9, fg  « j  
(<К*о) V^O)
непрерывны в точке 
х о .
Все элем ентарны е ф ункции непреры вны в области сущ ествования.

98
Гп. 1. Введение в анализ
О п ред елен и е. Вектор-функция х н-> f(x), f(x) = (/i(x ), . . . , fn(x)), ж £ X , называется 
непрерывной в точке хо 
6 1
, если
8.2. Непрерывность вектор-функций и функциональных матриц.
lini f ( x ) = f ( x 0).
х — х 0
Функциональная матрица х i-+ А(х), где А(х) = (а>Дх)), г = 1, т , j  =
1
, п, называется 
непрерывной в точке хо G X , если
lim А(х) = А(хо).
х - ~ х 0
Вектор-функция f непрерывна в точке х
0
£ X только и только тогда, когда в этой 
точке непрерывна каждая из функций х н-» fi{x).
Функциональная матрица х г-* А(х) = (а,у(ж)) непрерывна в точке хо 
6
X тогда и 
только тогда, когда в этой точке непрерывны все элементы матрицы х е-> а,Дж), г =
1
, »». 3 = ТГ».
- 8.3. Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции.
О п р е д е л е н и е . Если функция f : X  —* R не является непрерывной в точке хо £ X , то 
говорят, что она терпит 
разрыв в 
этой 
точке. При этом точка хо, называется точк ой 
разрыва функции 
f
.
Точки разрыва функции / классифицируем следующим образом:
1. Пусть хо £ X  — точка разрыва функции / и существует lim /(х ), конечный или
Х—Х0
бесконечный. При этом:
а) если lim /(х ) конечный, то Хо называем 
точкой устранимого 
разрыва функции / ;
x
-*
xq
б) если lim /(х ) = оо, то хо называем 
точкой разрыва типа полюса.
х — х 0
2. Если lim /(ж) не существует, то точку хо £ 
X  
называем 
точкой существенного
х — х 0
разрыва функции / . При этом:
а) если существуют конечные пределы /( х о -
0
), / ( х о +
0
) ( / ( ж о -
0
) 
ф
/( х о +
0
)), то точку 
хо называем 
точкой разрыва первого рода 
функции / ;
б) все остальные точки существенного разрыва называем 
точками разрыва второго рода 
функции / .
Поскольку в изолированной точке хо € X  функция / : X  —►
R непрерывна, то ее точками 
разрыва могут быть лишь предельные точки х £ X .
8.4. Основные свойства непрерывных функций.
О п р е д е л е н и е
1
. Функция f  : [а, Ь] —* R называется н е пр е р ыв н о й на сегменте [а, 
6
] 
если она 
непрерывна 
на 
интервале ]a, 
1
[ 
л 
в 
точке а непрерывна справа, а в точке b — 
слева.
Пусть функция / : [а, 
6
] —*■
К непрерывна на сегменте [а, Ь], тогда: 
1
) она ограничена на 
этом сегменте; 2) если т = inf {/(ж)}, М  = sup {/(ж)}, то на сегменте [а, 
6
] существуют

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: