Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 8. Непрерывность функций
205
Следовательно, функция (х, у) е-> е(х, у) терпит разрыв, если У — 
где х — любое 
фиксированное число. Заметим, что если ху < 
1
, то е = 0, а при ху > 1 е = ±1 (так как е 
может принимать только три значения 
0
, 
1
, —
1
).
Пусть ху > 1 и х > 0. Тогда у > 0 и
х 4* I/
arctgx > 
0
, arctg у > 0, a arctg ------— < 
0
.
1
- х у
В равенстве (1) слева стоит непрерывная положительная функция, следовательно, и справа 
должна стоять положительная функция, а поэтому етг > 
0
, т. е. е = +
1
.
Аналогично, если ху > 
0
и х < 0 (у < 0), то е = — 
1
. ►
269.
Исследовать на непрерывность вектор-функцию
. 
/sin x
е х
— 
1
1
—co sx \
f ( * ) = ( -----
1
— -— . ----------- , * #
0
,
V х 
х 
х 
/
f (о) = (
1
, 
1
, 
0
).
< Функция f при х 
ф
0
непрерывна, поскольку ее координаты непрерывны при этих 
значениях аргумента. Далее,
lim f(x) = (lim —
, lim — — , lim 
1
~ C0SX) = (
1
, 
1
, 
0
),
ЗГ-.0 
v t —.0 
X 
I - . 0
X 
* - . 0
X 
/
поэтому функция x I-* f(x) непрерывна и при х =
0
. ►
270.
Исследовать на непрерывность функциональную матрицу
А(х)
[х] sin 7ГХ X 
—х 
1
X £ 
1
< Функциональная матрица непрерывна на R, так как все ее элементы непрерывные на 
функции. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на непрерывность следующие функции:
133. 
/( х )
=
arcsinx, |х| 
^ 1. 
134. 
/( х )
=
arccosx, 
|х| ^
1.
135. 
/( х )
=
arctgx, 
х £ К .
136. 
/( х )
=
arcctgx, х Е R.
137. 
/ ( х ) =
хфО,  /(0 ) = 1. 
138. 
/ ( х ) =
1 = ^ 1 , 
х > - 1 , х ^ 0 ,
/(0 ) = 0. 
'
139. 
/( х )
=
arctg 
х 
ф | + кж, / ( f + кж) 
= 0 , 
к £ Ъ.
140. /( х ) = sin х arcsin 
х ф 
+ Ъ г, / ( f + fcx) = О, 
к 
£ Z.
т ,
^2
1
х < ! ;. 
142- /( е ) :
sin х, I е
о, 
х е
141. /(х ) =
Г4.Т+ЗЯ-1
143. /(х ) = (—1)1- 4,г J (sin х + cosx) + 2л/2 
, х е :
144. /(х ) =
a r c t g
+ ? SSU 
1
Ф 0, /(0) = 0.
145. /(х ) =
+ 1 + j r + ■
 ■
 ■
+ £рг, х Js 1. 146. /(х ) = [х]1пх — ln([x]!), х ^ 1.
147. /(х ) = “ * [ i f ] +
1
+ ?Г + • ■
■
+ Г 7 р ->
1
6
]°. !]■
[vs.
148. /(х ) = | ® 
149. Д х) = [x]sinirx, * G R.
Г *'п 
х 
* ^
п 
Г (i+x)'/5-i 
. „
о ! :
О п р е д е л и т ь т о ч к и р а з р ы в а и и с с л е д о в а т ь и х х а р а к т е р :
152. /(х ) = sin р-, х ф О, /(0) = 0.
153. Д х) = arctg ^ + т
, х 
ф
§ + ПЯ-, / ( f + »иг) =
0
, п g Z.
154. /(х ) = arctg 
+ т 
, х ф (2п + 1)т, /((2 п +
1
)т) =
0
, п £ Z.

авб
Гл. 1. Введение в анализ
155. /(х ) = arctg =ггг х ф ±1, /(± 1 ) = f .
1 5 6 ‘ / ( * ) =
^ f + * « - , / ( f +
к г )
= 0.
157. /(х ) = tgx, х ф f + *», / ( f +
к г )
= 
0
, к € Z.
158. /(х ) = arcsin (sin х) arctg 
х ф пж, f ( n i г) =
1
, и £ Z.
159. /(х ) = In arcctg 
х ф  0, /(0 ) = 0. 
160. /(х ) = tg i , х ф 0, /(0 ) = 0.
Исследовать на непрерывность вектор-функции:
161. f(x) = (cos 
х ,
sin х, 
1
), х € R.
162. f(x l = {  (sin *> xsin * ’ ' ' ' ’ х”'~' sin l ) > 
x * °>
У ’ 
l (
1
, 
0
, . . . .
0
), 
x =
0
.
163. f(x) = ( (
2
T £ ’ l*l> cosx) ’ 
x * 0’
'
\ (
1
, 
0
, 
1
) 
x =
0
.
164. f(x) =
, если x e ] - l , +oo[\{0} и f(0) =
(л/
2
, 
2
л/
2
, . . . . m V
2
).
165. f(x) = ^ (l + x ) * , ( l + 2 x ) * , . . . ( l + m x)*^ , если x € ] —1, +oo[\{0} и f(0) = 
(e ,e 2, . . . . em).
Исследовать на непрерывность функциональные матрицы:
166. 
А ( х )
= (  
1
8111
х 
х 
У х е К.
v 
7
у COS 
X 
1 
1 — 
X J
167. 
А ( х )
= 
^ 
У X 
€ 
R, 
г 
=
1
, 
т ,
j 
= 
l, 
п .
1
___
___
168. Л(х) = (atJ(x)), где a,j(x) =
(1
+ ix)*, i =
1 , 
т, j  = 
1
, и, х € ] —
1 , 
оо 
[\{
0
> и
Lzili
А(0) = Е.
170.
■
■
I.
А( х) =
aij(x) = (, . + ^ ) •• , х ф 0 и А(0) = Е.
(  £
0
. . .
0
\
0
1
х -ф 0, 
у
1(0) = Е.
\
0
0
— /
/
§ 9. Равномерная непрерывность функций
9.1. Определение равномерной непрерывности.
О п ред елен и е. 
Функция 
f
: X  —» R называется р а в н о м е р н о - н е п р е р ы в н о й на множе­
стве X ,
если
Ve > 
0 
3 5 > 0 : Vx, 
у 
G X Л \х — 
< 
6
=> 
|/( х )
— f(y)\ < е.
Ёсли функция / не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:
Эе > 
О V
6
> 
U 
: 
Эх, 
у £ X
А
|х -
у] < S 
=> |/(х ) -
f(y)\  
^ е.
9.2. Теорема Кантора.
Теорема. Если функция / : [a, t] -* К непрерывна на сегменте [а, Ь], то она равномерно­
непрерывна на этом сегменте.
271. 
Показать, что функция /( х )
= !, 
х 
£ 
]0, 1[, непрерывна на интервале ]
0
, 
1
[, но не
х
является равномерно-непрерывной на этом интервале.
М Ф ункция / непрерывна, как всякая элементарная функция. Покажем, что она не явля­
е т с я ,
равномерно-непрерывной на интервале ]
0
, 
1
[.

§ 9. Равномерная непрерывность функций
■®07
Пусть 
х п =
-
7 7 7
, 
у,г = 
7 7 ^ 7 7
, « 
€ N. 
Тогда 
vi >v - 
1
. 
Л 
.С.';!
\ х „ - у п\ - 7— , 
g , . ;—г
— 0
п р и и - ю о ,
(n + l) ( n +
1
+ е)
т. е. разность |х„ — ;уп| может быть меньше любого наперед заданного 
положительного числа. 
Однако | /( х „ ) — /(е Ve 
>
0
. Следовательно, функция /
не является 
равномерно непрерывной на интервале ]
0
, 
1
[. ►

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: