( l + ( x + o(x)) ( l - £

84 
Гл. 1. Введение в анализ
◄ Используя второй замечательный предел, после очевидных преобразований находим
-
j s
„(
\х+6
х+а 4
х - f b \ ~ а
—а—b ^
= е 
. ►
2 0 7 . lim 
п
2
( \ / х ~
х >
 
0
.
п —»оо
◄ Имеем (см. 197, а))
lim п2( sfx — п+^/т) = lim х п+х
х 
— 1 
п2
__1_ 
п2 + п
= Ы Я. ►
2 0 8 .
lim ( V E ± V ? \ n
I 
„ — I , a > 0, b > 0.
Tl
—►
oo 
\
Z 
J
◄ Аналогично предыдущему примеру имеем
- Г В Д ) - - « { ь . ( i S ± « - , ) . } .
lim l-= — -
n—
*оо \ 
Z
= “ ■> { i “»
+
^
p
) }=
'
'
n 
n 
' *
9ПО i- 
f a x+1 + b x+l + c*+1\ x
4 0 9 .
lim 
---------—z—---------- ) 
, a 
>
0, b 
>
0, c > 0.
x-.o 
a + 6 + c 
J
Ч Обозначим /( x ) = -----~ j ^ j ~ ----• Очевидно, f ( x) —* 1 при x —►
0. Тогда
lim 
r
^
4
, - ^
; =eltp( t a / и ь *
«-►о \ 
a + о + c 
/
I ж_*о 
ж
Поскольку
lim Л £ Ы = _ I
ж—0 
X
Л - f ft -J- C x
lim (a —----1
0 V 
X
, ж Ъ* - 1 , 
с" - 1
+ 6 --------- 1- с -------
, ) -
a ln a + 61n6 + clnc 
, ( , ajb CN_ i _ >\
---------- r-r-r----------= m (a 1 c «+Hc
a + M- c 
’ 
J
то искомый предел равен (a°b°cc) a+b+c . ►
2 1 0 . lim (
1 , a > 0 6 > 0, 
*-o \ ax +bx J
◄ Имеем
Umf 4 ± ^ ) i =exp( lim/ ( £ b i i
x—o \ ax + bx J  
(*-.0 
x 
J
2
2 
ox +bx
где 
f ( x )  =
------
►
1
, 
так как lim 
a* 
=
1
, 
limb1 = 1 , lim 
a* 
= 1, lim 
bx 
= 1 
(
cm
x—0 
x—
*0 
3—0 
x_+o 
v
утверждение А)). Поскольку
„ж
u
a — о
x—o 
я
о 
®(ax + 6х)
= lim
1
i —
.о ax + bx V 
x2
l
a* - 1
bx -  1 
a * - l
bx — 1
® + —
---------------------
= - - (In a + In b),
то искомый предел равен e
- ( I n a + l n b )
Vab *

§ 7. Предел функции
83
-j
2
, - j
2
2 1 1 . lim 
-
-------- n^Ti a > 0, 
6
> О.
—о (о* — Ьх )2 ’
◄ Поскольку (см. пример 197, а)) ах —Ьх = х2 In |+ о ( х 2), (а* —Ь*)2 = (xln £ + о (* ))3 =
х2 In2 f + о (х2), то
. 
а*2 - Ь*2 
х2 In f + о (х2)
lim
= lim
x2ln ?
/ а Ч " 1
х —
о (
а х  —
6*)2 
х —
о х2 In2 f + о (х2)
2 1 2 . lim ln (l+ 2 * )ln f l + —^ .
Х-. + 0О 
V 
х )
◄ Воспользовавшись асимптотическим равенством примера 193, находим 
lim 1п(1 + г^Мп ( l + —^ = lim ( x ln 2 + ln ( l + 2_:E))ln f l + —'j =
х -~ + о о
\
X /
х ~ + о о
\
X /
= lim ( хЫ2 + 2~х + о ( 2 ' х)) ( l + o 
= 31л2=1п8.
2 1 3 .
Доказать, что
lim — = 0 , 
а > 1, к > 0.
я—
^+оо ах
пК
◄ Поскольку lim — = 0, а > 1 (см. пример 70), то одновременно будет и
П—
<
■
00 а
(21+1)* _
lim
п —*оо 
а 71
0.
Следовательно, по заданному е > 0 найдется такое натуральное число N , что при « > ЛГ 
выполняется неравенство
а"
Пусть х > IV + 1 ; положим и = [х] (целая часть х). Тогда п > N  и n < х < n + 1 , так что
„ 
xfc 
(n + l ) fc 
О < —
— < ■- - - < е. 
ах 
ап
Это и доказывает наше утверждение. ►
2 1 4 .
Доказать, что
lim 
- = 0 , 
а > 1, е > 0.
Х-.+00 
X е
◄ Положим хе = 1. Тогда
lim ^
= I Цп, 
} 2 Ы .
Х-.+ 00 
X е 
£ t—+оо 
t
'О*»"
В силу равенства (см. пример 74) lim —— = 0, имеем 
*
п-*оо п
lim 1о£ > + 1 ) = 0 .
п - * с с
П
Пусть £i > 0 — произвольное. Тогда существует такое натуральное число N ,  что при п > N ,
О < 
!°
1
> + 
1
) <£1,
п
Для t > N + 1 положим « = [<]. Тогда п > N  и п ^ < » + 1, так что
0 < l o ^ < l o g > ± l ) < e b
I 
п
т. е. lim 
‘ = 0, а тем самым и lim —-f * = 0. ►
t —* + о о
с 
х - * + с о
*

86
Г л. 1. Введение в анализ
Решить примеры (при решении примеров 215, 216 используются формулы
shx =
е — е
ch х =
ех + е'
th х =
sh х 
ch х ’
а также формулы гиперболической тригонометрии):
2 1 5 . 
a) lim 
б) Urn 
в) lim
х - > 0
X  
х —. 0
X 2
* - . 0
X
◄ а) На основании примера 197, а), имеем
slix 
е — е
п т ----- = lim -----—
х
->0
х 
*—-о 
2х
- х
2 х _ ,
= lim е х • —----- = 1.
х — о 
2х
Отсюда sh х = х + о (х) при х —►
0. 
б) На основании а), находим
c l i x - 1
2sh2f
l / s h f \ 2 
1
lim ------— = lim
= lim - -
3
— 
=
x —.0
X 2 
X— О 
X 2 
x —.0 2
\ 2 
J  
2
.Таким образом, chx = l + ^- + o(x2) при x —►
0.
в) Используя результат решения а) и утверждение А), получаем
1
th х 
sh х
lim -----= lim ------- —— = 1. ►
x—
.о x 
x—
.o x 
ch x
sh2x
2 1 6 . lim —, —
x-.o ln(ch3x)
◄ Используя результаты решения примера 215, имеем
(* + °(* ))2
.. 
sh2# 
..
hm 
^ ч = lim
= lim (I + ° (J )) = ц
lim
x—
*o In(ch 3x) 
x—o ln ^1 -|- £ x2 + о (x2)) 
*—•° | x 2 + o(x2) 
о i x 2 
9
Доказать следующие равенства:
2 1 7 .
lim arctg x 
=
arctg x0.
*-»*o
◄ Пусть xo > 0 и x > 0. Положим arctg x — arctg x0 = t. Тогда для произвольного 
s 
> О 
имеем
|arctgx - arctg х01 = |<| ^ |tg t| =
- X° 
< | x - x 0| < e ,
i + XXo
как только |x —x0| < 8 (e) = e. Таким образом, соотношение доказано для Хо > 0. Если хо < О, 
то доказательство сводится к уже рассмотренному случаю, поскольку arctg (—х) = —arctg х. 
Справедливость требуемого соотношения при хо = 0 вытекает из очевидного неравенства
О ^ |arctg х — arctg 0| = |arctg х| < |х|. ►
2 1 8 .
lini arcctg # = arcctg хо.
Х - + Х 0
◄ Пользуясь тождеством arctg# + arcctg# = j ,  справедливым при всех значениях #, 
получаем
lim arcctg# = lim ( — — arctg#) = ^ — arctg#o = arcctg#o- ►
X - + X 0
X — * X
q
 
\
2 
/
2
2 1 9 .
lim arcsin x = arcsinxo, — 1 ^ xo ^ 1.
X
.^ 
X
Q
◄ Заметим, что если 0 ^ х < 1, то arcsin х = arctg ■
а если 0 < х 
1, то arcsin х =
arcctg ■
Поэтому для хо е ]0, 1[ имеем
lim arcsin х = lim arctg 
■
.... 
х->х0 
х —х0 
V I — 
X2
= arctg
Хо
= arcsin #о.
В точке #о = 1 имеем (см. пример 218)
.. 
1
JX —
#2 
7Г
lim arcsin 
х
— lim arcctg---------- = arcctg 0 = — = arcsin 1.
x —
 
r —*1 —0 
X
 
2
X

§ 7. Предел функции
87
Случай — 1 ^ ®о < 0 сводится к уже рассмотренному, так как arcsin(—®) = —arcsin ®. А по­
скольку для точки Хо = 0 левое и правое предельные значения равны нулю, то доказательство 
завершено. ►
2 2 0 . lim arccos х = arccos хо, — 1 ^ х0 ^ 1.
X-+XQ
■е Поступая аналогично предыдущему примеру и используя тождество
"К
arcsm х + arccos х = —,
получаем требуемое соотношение. ►
2 2 1 . a) lim arctg х = —; б) lim arctg х = — —;
х —*-+оо 
2
— оо 
2
в) lim arcctg ® = 0; г) lim arcctg ® = тг.
х —»-+оо 
х —* — оо
◄ а) Пусть е > 0 — произвольное. Тогда из неравенства х > tg (|- — г) = Е[е) вытекает, 
что arctg х > j — е, т. е.
О < j  - arctg х < е 
V® > Е(е).
б) Имеем lim arctg® = — lim arctgz = — ^ .
X —» — OO 
*
в) Используя то, что arcctg® = -  — arctg®, получаем
lim arcctgi = lim (~r — arctg®) = т? — l~ = 0.
X-*+ OO 
X-*+00 \2 
/
2
2
r) Аналогично
lim arcctg ® = lim 
— arctg X ) =
- f — ^ j = ff. ►
* -►
— 00
* —►—со \2 
/ 
2 
V 2/
Найти пределы: 
222 
lim arcs*n ax
а ф
 
0
.
*-.o 
x
◄ Поскольку lim arcsin 
x
=
0
и lim a,r;3ln
*-.0 
i —о 
x
= lim -
sin(arcein *)
=r 1, TO
.. 
arcsm ax
 
arcsm ax
lim ------------ = l i m -------------
a = a.
►
* —► 0

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: