Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
Глава 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной § 1. П роизводная явной функции 1
.
1
. Основные определения.
О п ред елен и е
1
. Пусть дана функция / :]а, !>[ —►
R. Разность А х = х — хо (х, Хо € ]а,
6
[)
называется приращением аргумента в точке Хо ■ О щ эеделение
2
. Разность Af(xo) = f ( x о + А®) — f ( xо) называется приращением значений функции / в точке хо ■ О п ред елен и е 3. Если существует предел (конечный или бесконечный) lim М
Д-°1
Дяг—
fO
Дх
f'(xo), то он называется производной (конечной или бесконечной) функции f в точке хо- О п ред елен и е 4. Пределы (конечные или бесконечные) f'-(xo) lim
Д.Т—
►
—
О
A /Q o)
A x
/ + ( х о ) =
l i m
' Л х —+о А /(хо)
Ах
называются соответственно левой и правой производными функции / (конечной или бес конечной) в точке хо ■ Во всех этих определениях бесконечный предел понимается как один из символов +оо
и л и — о о .
О п ред елен и е 5. Если функция f терпит разрыв первого рода в точке хо, то выраже ния /
1
( х
0
—
0
) =
l i m
+ * * )
Д и
- » - 0
Д х
/ | ( х о +
0
) = lim
Да?—»+0
/(хо + Ах) - /(хо +
0
)
Ах
называются соответственно левой и правой в расширенном смысле производными функ ции / в точке хо -
Необходимо помнить, что во всех этих определениях приращение Ах стремится к нулю
произвольно.
Приращения Дх и Д /(хо) могут быть как сколько угодно большими, так и сколько угодно
малыми.
1.2. П равила вычисления производных.
Если функции / и у имеют конечные производные при х G }а, Ь[, то
1
) («
1
/ +
029
)' = ce1f ' + a 2y', од, о
2
— постоянные;
2) (/f g + /V ; 3) ( f ) ' =
g(x) ф 0.
1.3. Производная сложной функции.
Если функции /:« !-► /(и ), <р : х >-* и = <р(х) имеют конечные производные /„ и <р'х , то {f(
Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется
производная.
