Поскольку по определению определителя

116 
Гл. 2. 
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
где 
s 
— 
Число 
инверсий в перестановке [t'i, *
2
, •••,*«]> т0
D (х) = 
у(~ ^ ) a *ll
a >22
«>„п^ =
=
l)"'a 'iia
,22
• ■. «;„п +
l ) sa iii
a!22
• • • «;»« + • • • + ^ ^ ( - П У а ^ а ^ г • • • «>пп =
«11 ai2 . ■ 
O l n
an «12 ■ • 
O l n
an ai2 • • 
O l n
«21 «22 . ■ 
&
2
n
+
«21 «22 •
• O2 n
+ . ■ +
«21 022 •
■
«2 
n
O n l
Л п
2
■
• Ann
& n l
t
Oy
%2
• • 
O n n
flnl
O n
2
•
t
• 
O-nn
т. е. получаем формулу (2).
Аналогично, исходя из представления
D ( x )  =
l)* a iiia 2i2 • • ■ «п.„,
получаем формулу (1). ►
Приведем примеры вычисления производной функции в точке и ее окрестности.
1 2
. 
Показать, что функция
/ : х н-т <
x2 sin -
X
0
0
0 ^
0
1
х Ф О,
х = О,
имеет разрывную производную.
4  При I / 0 элементы данной матрицы имеют конечные производные, которые вычисля­
ются по правилам пунктов 1.2 и 1.3. Поэтому по правилам пункта 1.6 при 
х ф 
О
f ' - . x
2х 
sin - — cos 1
X 
X
О
2хех
В точке 
х 
= 0 по определению 3, п. 1.1, имеем
«п (
0
) = lim
1
2
• 
1
a S
1
I
1
г
а—о 
h
где
- = 0, aia(O) = 1, «
2 1
(
0
) = 0, «
2
2(
0
) = 0,
{
х2 sin - , 
х ф 
0
,
0
, 
1
х =
0
,
«а (z)
ai
2
{ x ) - x ,  
a2i(as) = 0, 
022
(ж) = е
Таким образом,
/ ' : х !-> (р(х) = <
2x sin -  — cos -
1
\
* 
x 
2
, 
x ф 
0
0
2xex J
0
1
^
x 
=
0
0
0
’
Исследуем теперь на непрерывность матричную функцию <р. При 
х ф 
0 элементы ее — 
элементарные функции, поэтому по известной теореме функция 
<р 
непрерывна при 
х ф 
0
. 
Далее, рассматриваем
lim 
<
р
(
х
)
= lim (
1—0
\
0 - 1
 
1
 
л
Lx 
s in ---- cos -
1
X 
X
О 
2216"
Поскольку
lim 
( rLx 
s i n -----cos
z
—0
V 
x 
x j

$ 1. Производная явной функции
117
не существует, то lim 
 
также не существует. Следовательно, функция 
if, 
разрывна в точке
г —-О
х
= 0. ►
1 3 .
При каком условии функция
/ : х и-> |i|" s in | —, х ф 
0
, и / (
0
) =
0
, т > 
0
,
\х\
имеет: а) ограниченную производную в окрестности начала координат; б) неограниченную 
производную в этой окрестности?
■4 а) При 
х ф
0 производная находится по правилу 2), п. 1.2:
f
■■ X
sgn 
х
• sill 
- т | т | п_,п_1 sgn 
x 
■
cos 
(a)
При x = 0 функция x I—* sili 
производной не имеет, поэтому указанное выше правило
применить нельзя. Использовав определение 3, п. 1.1, находим, что
|Л|" sin rrw
{  
1
\
/'(0 ) = lim ------:——— = lim I lft|n 1 sin ту;— • sgn ft )
J
v 
' 
h
- 0 
ft 
Л-0 у 1 
|ft|m B 
J
существует только при n > 1 и равна нулю. Следовательно, производная существует в окрест­
ности начала координат при и > 1. Очевидно, она ограничена при п — т  — 1 ^ 0, т. е. при 
п ^
1
-f т.
б) Как видим по (а), производная будет неограниченной, если п — 1 < 0 или п — т  — 1 < 0, 
откуда п < 1 или и < 1 +
т, 
т. е. достаточно, чтобы выполнялось неравенство п < 1 +
т. 
С другой стороны, для существования /'( 0 ) необходимо иметь n > 1. Таким образом, если 
1 < п < т, то / ' является неограниченной в рассматриваемой окрестности. ►
1 4 .
Показать, что функция
в любой окрестности 
начала координат имеет точки, в которых конечная производная не 
существует, но имеет 
конечную производную в точке х = 0.
М 
Функция 
х е- х 1 имеет производную всюду. Функция х ы- |cos ^ | имеет производную 
всюду, 
за исключением точек х = 0 и г = Хк = 2k+'i > ^ ^
Поэтому производную функции 
/ при х ф 0 и х ф Хк можно найти как производную от произведения х 2 |cos j | . В точках же 
х = 0 и х = Хк производную / вычисляем, используя определения 3 и 4, п. 1.1. Поскольку
а
/ (
о
) _
н 
= Л lcos 7Г|> то
/'( 0 ) = Urn ft
4
' 
h-+ О
т. е. / имеет производную в точке х — 0. Далее,
c o s j = ° ,
^
(^Г-кт) 
= л—±о 
^
ж(2к + 1)
4 
I
(
2
к  + I
) 2
л
— ± 0
ft
jt
(2 к + 1) 
cos 
1
—— ---- +
2 + (2ft + 1)Л
ir(2ft + 1)
: + (2ft + l)ft 
2
(2 ft+ 1)
(2ft + 1):
lim -p
ft 
—±0
ft
ir(2ft + l)
ir(2ft + l) 
2 + (2ft + l)ft 
2
= ±;r,
т. e. производная f ' ( x k )  не существует. Поскольку Ve > 
0 
3ft € Z 
: 
\xt-1 
<
e, то 
в
любой 
e-окрестности начала координат имеются точки, в которых производная не существует. ►
15. 
Показать, что функция
/ : х
( sin2 х, 
х € Q,
\
0
, 
R \Q ,
имеет производную лишь в точках Хк = kiг, ft е Z.