Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§ 1. Производная явной функции
113
3 . 
Переменная ж получает приращение А х  в точке жо, т. е. Дж = ж_— #а...Определить 
приращение Д /(ж о), если:
a) f (jr) = (ж, sinx, ех); б) f ( x ) = 
+ i ~
- ; в) f ( x )  = ^ ^ х ^
j , п € N.
Согласно определению 2, п. 1.1, имеем: 
a) A f (жо) = f (ж) — f (жо) = (ж — жо, sin ж — sin жо, е* — е*0) =
= (Дж, 2 sin ^
cos (жо + ^ ) , еХа(еАх - 1)) ;
f ( x o) ~
2
 
х 
—3 Дж
2 + хо
(2 + Х'о)(2 
хо + Ах)
1пж \ 
/ ж S
1н 
Жо\
1 1 
1 sh жо
1
+ < (
Жо
+ гт
4 — ж 
4 — жо / 
4 Дж
- ж0)(4 - ж0 - L 
ж’* - ж? 
In f
•3-1
sh ж — sh жо 
О
ж о ^ 4 , Д ж ^ 4 —жо;
4 . 
Найти / ' (
1
), 
если:
а) /(ж ) = (ж — 1) arcsin
(жо + Дж)" — Жо 
In 
2sk ^ c h (ж0 +
б) f (ж) = (arctgж > 2х , In ж);
(> + т ? )
= ( т т
V tg
ж 
1
в) /(ж ) = cos ж + г sin(x — 1); 
г) /(ж )
■4 Используя определение 3, п. 1.1, получаем:
,) / ' (
1
) = и ,. Н А Л А : Ж =  п,„
ж 
arcsin (ж — 1)
Дж
Дж
7Г
4 ’
б) f '( l ) = дНшо ( ^ Д + л ^ - а г с ^ £ ( 2 А* - 1), 
= Ц  2 I n 2, 1) ;
в) 
^
= 
а
^
о
(~ ^
Г
^
+ « 
= - sin 
1
+
(1 + Дж)2 - :
(
1 + А.т _ _1
, 2+л * . 
2 
tg 
(1
+ Дж) — tg 
1
arcsm Дж
\ COS^ 
1
/
Следующий пример показывает, насколько важно произвольное стремление А х к нулю в опреде­
лении производной.
5 . Доказать, что вектор-функция
f : ж и (ж sin ж, 
ф( 
ж), 
е~х 
) 
,
где 
ф(х) =
О,
* 
Ф
о,
ж = О,
не имеет производной в точке ж = 0.
◄ Д ля того чтобы вектор-функция имела конечную производную, необходимо и доста­
точно, чтобы каждая компонента ее имела конечную производную. Покажем, что функция ф 
не имеет производной в точке ж = 0.
По определению 3, п. 1.1, имеем
ф'(0) = lim sin — .
V '  
Дат—
*о 
Дж
Если взять Дж = гт----- - 0, к —*• оо, к G N, то sin 
= sin 2кж = 0. Если ж е Дж = ■
, 1 _. , то
J
ktt
iia; 
2
лтг+ "[2 '
при 1 - ю о sin — —> 1. Таким образом, производная ф'(0) не существует. ►

114
Гл . 2. 
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти производные следующих функций:
6
. f
(ж) = ^ у/'2 4~
г
2
у/з 
+
ж3, sin (cos2 (sin3 4ж2)), e~ix
◄ Каждая компонента вектор-функции имеет конечную производную, поэтому, согласно 
пункту 1.6, находим
f ’( x ) =  ^ \ / ' 2 + х- У *  + ж3 j , (sin (cos2(sin3 4ж5) ) ) ' , ( e -4 * 
=
=
( \/.‘
 
^
+
~
cos 
( c o s 2 ( s i" 3
 4 l5 ) ) x
x sin(2sin3 4ж5) • 60sin2 4ж6 • cos4x5 • ж4, —12x2e~4x 
►
7 . f ( x ) = sin (cos r j + ;ro s (s iu r).
Согласно пункту 1.7, имеем
f ' ( r ) — (si и (< os л))' + i(cos(sin x ))' = — sin x cos(cos x) — i cos x sin (sin *). ►
о 
.. , 
(  sin 
co,s2x \
8 ’ 
{
s h 3 . r
cii3,i; 
) ■
■4 Пользуясь пунктом i.O, находим
j' 
( si l l
2x)' 
(со.чЗж)* \ _ (  2 cos 2s 
— 2sin2x
ЗсЬЗж 
3sh3x
f > / > , 
I 
V
■' 
C 
1 
^ (sb 
ЗжУ 
(th Зж)'
9 . Найти производную от лектор-функции
f : 
х в-* 
( arcsin Дт, 
[ж] 
sin
2
хх ) .
■4 При |:cj > ! и 
x
С к € 2i, 
f ' (x) = 
arcsin jy.
Д 
{[.rjsin' ;raV 
)
\
'V
- 1
( —т=Д—
--- \ e x ) . (M )'sii
!2
7
ГХ 
4
rr[x]sin 27ГЖ ] = . 
-----,
^ 
_L V HI 
J
J
\
-  1
5г[ж] s i n
2icx
При \x\ > 1 и т — к, к (i 2,  рассматриваем левую и правую производные функции 
у : х ^ [ х ]  sin2 7га . Имеем, но определению 4, п. 1.1,
. 
1жЫп2 7Гж 
lk + h]nr2h2
у+(к) -  tnu -------- ;— = lim L 
,J-------= 0.
* ’ 
o-A±3 
x - k
h—*±0 
h
Поскольку у1 (к) = тг[к] sui 2тк = 0, то у'(х) = 7г[ж] sin 2тх при всех х. Следовательно,
J ' ( x )
1
1 0 . 
Найти нропзводпую от матричной функции
/ : х ю
тг[ж] 
sin 
2irx ] , 
|ж| > 1. ►
«п(ж) 
а12(ж)
lt-
2
l ( x )
Д
2 2
( ж)
где
Н|
2
(ж) =
-121
(ж) = I
arctg x
п р и |ж |^ 1 ,
f sgn х -ь 
при |ж| > 1,
2
- г
2
при |ж| < 1, 
при |ж| > 1,
«2 2
(х) = |ж|.

§ 1. Производная явной функции
115
М
Сначала вычисляем производные от элементов данной матрицы. При |ю| 
ф
1-;и -ж 
ф
О 
имеем
a liO )
1
+
1
2
^
при |*| <
1
,
при |*| > 
1
,
а' ( х ) = а ' ( х )
 
= /
2
*е X\ l - x 2) 
при 
\х\ <
 
1
,
« Ы Ч - « л 1 4 - |
0
 
при |*| >
1
,
« 2 2 ( 4 = S g n * .
Далее ищем односторонние производные функций а,-у(х) в точках * = 1, * = —1 и * = 0:
arctg 
( — 1
+ ft) + т
1
« и + ( -
1
) = ^ т
h
—+0
2
’
i 
,
^  
4
S g n ( - 1 + f c ) +
2 ( - l + f t -
1 )+
4
вы —(—
1
) = lim ---------------------- Г---------------------- = +°o;
/*——о 
ft
,
j s g n ( l + ft ) + | ( l + f t - l ) - f
1
a
11
+ ( l ) = hh m o --------------------------й ------------------------------=
2
’
arctg 
(1
 + ft) 
— 7
 
1
 
- — 
7
- V -  A
- - ft 
± ~JL = 
2
’ 
« '« - ( - i ) =
b 0 v
= °;
_L / Л 2 e ( 
1 + Л-)2 _ 1_
a' 
( - 1 ) = lim -----------:----=-------------- *- = -  lim r ((1 - 2 Л + ft2)(l + 2ft - ft2 + o(ft2)) - 1) = 0.
л—+о 
ft 
e h —+ o ft"
4
"
' 
•
Аналогично находим a I
2
± (l) — О, «
22
± (0) = ±
1
. Таким образом, окончательно получаем
2
*е
~*2(1
- х2)
2
>
1
1
+х
2
/ ' ( 4 = <
V '
2
« - * ( I - * 2) 
0
'
sgn 
X
0
 
sgn 
х
при 
0
< |*| <
1
, 
при 
1*1
>
1
;
л ( ]) = ( ^ ; ) . А ( « ) - ( ; ±0, ) . / « - » - ( t
Поскольку a'u _ ( —
1
) = + оо, то конечной производной матричная функция в точке * = — 
1
не 
имеет. В точке * =
1
выполняется равенство /4 ( 1 ) = / - ( 1 ) , поэтому / ' (
1
) = /4 ( 1 ) = /1 ( 1 ) . 
В точке * = 0 односторонние производные, хотя и существуют, но не равны м еж ду собой, 
поэтому / ' (
0
) не существует. ►
1 1 .
Дока зать, что если функции 
ач = atJ(x), i, j
 
=
1
, п, имеют конечные производные, 
то производную от определителя 
D
 (*) = det (a,_, (*)) можно найти по одной из формул:
£>'(*) =
«11 
( 4
a 21 (l)
«12 (*’) * • 
«22(*) 
•
■ 
A
l n ( X ) 
. U2n(x)
II
Uni(x)
Un2(x)
■
Ae=sl
D ' ( x ) =
« n
(4
«21 
( 4
«12 
( 4
• 
«22 (*)
. 
tfln(l)
. 
«271
(4
c
W
II
(x)
Un2(^)
. 
u n 
n
^ 
X
)
k =
1
«Н 
( 4
«12( 4
C t i n ( x )  
\ 
'
<**i
( 4
a'k
2
( x )
. . .
« U
( 4
>
(1)
Uni(x)
an2(*) 
...
Unn(x)
an(*)
... 
a'l k ( x )
... ®ln(*)
«21(*)
. . .
a'
2
k ( x )
• • • 
U2n(*)
• 
’(2)
Onl(*)
. . .
a ’n k ( x )
1
• . • 
flnr
(4

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: