Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
153
Поскольку f ' ( a ) = f'(b) = 0, то правую часть последнего равенства можно записать в виде
/ '( 6 )
П Ь )  _ / ' ( * ! ) - / ' ( « )
/ '( Ь ) - У '( Ы
_
-
1 Г - “
— - f Ы
- f  Ы ,
(2)
где а < jji < £i, £i < 
7/2
< Ь- Оценивая по абсолютной величине (1), с учетом (2), имеем
! /" ( ,. )1 + 1 / " Ы |.
Предположим, что /(6) ф f(a) (в противном случае доказательство тривиально: точкой с 
может служить любая точка интервала ]а, 6[). В силу нашего предположения, хотя бы одно 
из чисел |/"(»/i)| или |/"(»/г)| отлично от нуля. Обозначим
|/"(с )| = т а х { |/ > , 1)|, |/ " Ы |} .
Тогда имеем
8 |/ ( 4 ) - Д а ) | 
(Ь — о)2
^ 2|/"(с)|,
откуда
l f " ( c) \ 2 р Г ф ! / ( » ) - /( « ) !
(знак равенства не исключаем, так как возможен случай, когда | / ,,(»/i)| = |/"(»/
2
)|). ►
9 6 .
Доказать, что если вектор-функция f
: 
К —
►
 
Е п имеет непрерывную производную на 
сегменте [а, 4], то справедливо неравенство
|f ( 4 ) - f ( o ) | < ( 4 - а ) max |f'(x)|.
◄ Функция F : х 
у
-* (f(6) — f(a))(x — о) — f(x)(b — а) дифференцируема на сегменте [а, 6], 
на концах сегмента принимает одно и то же значение, поэтому по теореме Ролля 3£ б]а, Ь[ 
такое, что
Г (О = О, 
или 
(f (4) - f(a))2 = ( f ‘((), (f (ft) - f(a)))(4 - a).
Оценивая обе 
части полученного равенства 
по модулю, приходим к неравенству
|f ( 4 ) - f ( a) |s C |f'(£ )|(4 - a ). 
(1)
Поскольку 
функция |f '| непрерывна на [а, 
6], то по теореме Вейерштрасса оиа принимает 
максимальное значение m a x |f'(x )| 
в 
некоторой 
точке х € [а, 4]. Следовательно, |f'(£)| =
in a x |f'(x )|, и на основании (1) получаем 
доказываемое неравенство. ►
9 7 .
Доказать, что если вектор-функция 
F : К —►
Е 2 а) непрерывна на [а, 4]; б) диффе­
ренцируема в интервале ]а, 
4[; 
в) производная 
F '(x) ф 0 
в 
]а, 4[, то 3£ б]а, 4[ такое, что
F(4) — F(a) = AF'(£),
где 
А — некоторая постоянная.
■4 Пусть F : 
х 
н» (/(х ), д(х )), ( f {x )> 9(х )) € Е 2. Тогда функции / и д, в силу условий 
а) и б), непрерывны на сегменте [а, 5] и дифференцируемы в интервале ]а, 6[. Кроме того, 
( П х ))2 + (д'(х ))2 Ф о по условию в). Следовательно, по теореме Коши, 3£ б]а, 4[ такое, что
( т  - / ( « ) у ( о = т
т
 -  »(«))•
Если, например, /'(£ ) ф 0, то
F(ft) - F(«) = (/(4) - /(a ), g(b) - д(а)) = Ш ^ Ш ( Г ^ ) ,  ,'(* )) = AF'(£),
где
А_ 
TW)
Упражнения для самостоятельной работы
191. 
Убедиться на примере функций / , д, ip, что ни одно из трех условий теоремы Ролля 
не является излишним, если:
Г 
-
 + -L-
f
; 
х 
и-» < 
а ~ х
ь - х ’
I
если a < х < 4, 
если х = а, х = 6;

154 
Гл. 2. 
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
'
"
'
•
I
I
ж

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: