Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

150
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
следовательно, для точки f =
0
значений аргумента xi и t
2
, o которых говорилось в условии 
задачи, не существует. 
Приведенные рассуждения не исключают, однако, положительно­
го ответа на поставленный вопрос для некоторых классов функций, удовлетворяющих всем 
условиям теоремы Лагранжа. ►
9 0 . Доказать неравенства:
а) | sin 
х
 - sin j/| ^ |х - у | ; б) 
рур~1 {х - у) ^ . х р - у р ^. рхр~1( х ~ у ) ,
если 
0
< у < я и р >
1
;
\ i
. 1 1
.I 
, я — b 
, а 
а — b
Bj 
|arctga — arctg b| ^ |я — 6|; 
г) ------- < In ^ < — -— , если 0 < о <
а.
<4
По формуле Лагранжа, имеем:
а) 
sin 
х — sin 
у = (х — у) 
cos f , откуда | sin 
х 
— sin j/| = | cos f ||x — j / | ^ | x — у|;
б) 
хр - у р =
р?я_1(х 
- у), у
< £ <
х
, откуда (х -
у)ру
г’ ~ 1
<
хр - ур
^ (х -
у)рхр~1
 ;
в) arctg о — arctg 
b 
= j ^ j ( a — 
b),
откуда |arctga — arctg Ь) ^ |я — Ь|;
г
) In а — 
In 
b — i ( a — 6), а < £ < b, 
откуда 
< 
In 
^ 
►.
9 1 . Доказать, что если функция / дифференцируема, но не ограничена на конечном 
интервале 
]а,
J[, то ее производная / ' также не ограничена на интервале 
]а,
Ь[.
◄ Пусть функция / дифференцируема на 
]а,
Ь[ и не ограничена при х —*■
 
b
— 
0
. Возь­
мем произвольную последовательность (х п), сходящуюся к J слева. Тогда существует такой 
номер 
N
, что при Vn 
> N
выполняется неравенство |/ ( х „ ) | >
А ,
каким бы 
А
>
0
ни было. 
Фиксируем любое число 
т
>
N
и рассмотрим при п >
т
разность / ( х п) — / ( х т ). Применяя 
теорему Лагранжа к функции / на сегменте [хт , х„], находим
f(x„) ~ / ( х т )
Хп 
Хгп
I / (£тп)Ь
Где Хгп < £rmi < х„. При достаточно больших п левая часть, в силу условия задачи, больше 
любого наперед заданного положительного числа, откуда следует неограниченность произ­
водной / ' при х —<• b — 0.
Обратное утверждение неправильно: из неограниченности производной в интервале не 
следует неограниченность функции на этом интервале, например: /
:
i h
у 'х , 0 < х < а . ►
9 2 . 
Доказать, что если функция 
/
дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, +оо[ 
и
lim /'( х ) = 0,
х —» + о о  
ТО
lira М
= 0)
х
—► +00
X
т. е. /(х ) = о(х) при х — +оо.
◄ Пусть (х„) — произвольная последовательность значений аргумента такая, что х п —►
+
00
. Тогда Ve > О ЭN : Vn > N  справедливо неравенство
1/'(*»)1 < f •
(
1
)
Фиксируем no > N и, взяв п > По, применим теорему Лагранжа к функции / на отрезке 
[x-noi Хп\*
= I/ (£пп0)|> 
(2)
ГДе 
Х п  0 < £ п п о ^ Х п .
В силу неравенства (1), из (2) имеем
f ( x n ) - f { x no)
f ( x n
) ~ /(Х «0)
Хп
- ХПо
е
Из (3) получаем неравенства
f ( x np) _
п 
'
ХП0
Хп
е
f ( x n) < f ( x nо)
+
£ п Л £
х п )  2
(
3
)
X
X
X
(4)

§ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
151
При больших и, очевидно, справедливо неравенство 
, .
_ £ ^
.
£
3 
1„ 
2
a ( l — 
J < 
2
всегДа ПРИ 
п
> по, тогда, используя неравенство (4), при По > № й 'п ри
достаточно больших и > 
по
получим неравенство
/ ( х „ )
-е <
— — - <
е ,
(5)
f(*n)
< е.
Поскольку (г„) — произвольная бесконечно большая последовательность, все члены ко­
торой положительны, то имеем
lim 
== 
0
) =Ф- 
( f ( x) =
о(х)) при 
х
—* +оо. ►
X—
►
+ 
00
X 
J
9 3 .
Доказать, что если функция / дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, +оо[ 
и /(х ) 
—
о(х) при х —►
+оо, то
lim 
\f' (x)\
=
0
.
х —* + о о
В частности, если существует lim 
}' ( х)
=
к,
то 
к
= 0.
X
—►-(- СО
◄ Допустим, что
lim 
\ f ' ( x ) \ = A ,
А Ф 0,
х —
*
ОО
тогда Ve (0 < е < Д) 3 
В
такое, что при 
х
> 
В
выполняется неравенство
|/'(х )| >
А - е .
(
1
)
Фиксируем xi > 
В
и возьмем х > 
х
\ . Применяя теорему Лагранжа к функции / на сегменте
[xi, х], получим, принимая во внимание неравенство (
1
),
/(х ) - / ( х i)
X — Xi
= |/'(£ )| ^
А - е ,
Xi < S 
< 
X. 
Переходя в неравенстве (2) к пределу при х —►
+оо, получим
(
2
)
lim
.г—*+ оо
/(* )
> А - е ,
а это противоречит условию /(х ) =
о(х).
Таким образом, 
А =
0, т. е. lim 1/'(х)1 = 0.
х —* + о о
Допустим теперь, что существует 
lim 
f ' ( x ) — к.
Тогда для произвольной последова-
X
—* + СО
тельности (хт ), хт > 
0
, хт —►
+оо, имеем
lim / '( х т ) =
к,
т
—► со
т. е. Ve > 0 3
М
такое, что при 
т
> 
М
выполняется неравенство
к - е < f ' ( x m) < к + е .
(3)
Взяв 
юо
> 
М
и 
т
> т о , получим, применив теорему Лагранжа к функции / на сегменте
[х,,
1
0, Х,71],
f ( x m )
- /(X w o) =
Xmo < £m <
'•Em “" 2-mo
Из неравенства (3) следует неравенство
fc- e < / ( l ”> )--/(« 2 g ) < t + g .
Itn "* Xmg
(4)

Переходя к пределу в неравенстве (4) при т —►
+оо, получим
152 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
к — е < lim
т —»+ оо 
Хг,
Поскольку lim 
= 0, то получаем fc — г ^ 0, к + е ^  0, откуда, в силу произвольности
т — оо 
Хт
е, следует, что к = 0. ►
9 4 .
Доказать, что если функция / непрерывна на сегменте [а, 6], имеет конечную произ­
водную внутри него и не является линейной, го в интервале ]а, 6[ найдется, по меньшей мере, 
одна такая точка с, что
т -
 /(«)
6 — а
1/'(с)| >
4  Разбивая произвольным образом сегмент [а, 6] на п частей точками а о — хо < xi < 
Х2 
< 
... 
< 
х „
= 6, получаем
|/(6) - /(а )| =
По формуле Лагранжа имеем
^ 2 f { x i + i ) - f ( x i )
/(* i+ i) - f(xi) = f ' i t i ) Axi, 
Xi 
< 
(i 
< 
Xi+ l ,
i = 0, и - 1 ,
где Ax , = xt+i - x,.
Таким образом, приходим к неравенству
(1)
Функция / отлична от линейной, поэтому существует такое разбиение сегмента [a, 6], что 
среди чисел | / ((£;)| найдется наибольшее, отличное от нуля, которое обозначим | / '( ( ) | . Тогда 
из (1) получим строгое неравенство
П —
1
|/(6) - f(a)l 
< I f
'(()15 3
Дх, =
(6 -
«)|/'(£)|,
г = 0
откуда j/'(£)l >
“ < £ < Ь. ►
95. 
Доказать, что если функция 
/ 
имеет вторую производную на сегменте [а, 6] и / ’(о) 
= 
f'(b) = 0, то в интервале ]а, 6[ существует, по меньшей мере, одна точка с такая, что
( b h y m
- /(а)|-
■4 Если 
/(х) 
= const, то утверждение очевидно. Предположим, что функция / отлична 
от постоянной. Из условия /'( а ) = /'(6 ) = 0 следует, что / отлична от линейной функции.
Применяя формулу Коши конечных приращений к функциям / и <р : х \-+ —
на сегменте
[а, 2±-j и к функциям / и ф : .
на сегменте 
б], получаем
а < 6 <
8 ( / ( ^ ) -/(«)) _ /'(&)
(Ь - а)2 
6 - а ’
8 ( / ( 6 ) - / ( ^ ) ) __ / '( 6 ) 
a + 6 
(6 - а)2 
6 -
’ 
2
Складывая полученные равенства, находим
чт

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: