.1 .  Af(xa) = 2 s i n ( г — т о ) + (

§ 2. Дифференциал функции
129
◄ Вычислив пределы
I 
_ j_
__i_ 
/ ш
3
\
/
1
\
lim — arcsin е a
2
= lim е l>2 h 
1
=
0
, 
lim I —— h i ) =
1
, 
lim hsgn ( tg — ) =
0
, 
ft—о 
h
л—о 
/»—о ^ ft 
у
ft—о 
4 
f t /
fa, г (iif) *’ = fa (
t
O *’ fa (i
^
' 1
 ■**»)=«.
получим
/ ' ^ = , Ь
о
7
^ = ( 2 ! ) ’
т. e. матричная функция 
f  
дифференцируема в точке хо, и
df(xo) =
( J 
I
 ) 
dx = 
( 
J ** 
) 
.
3 5 .
a) 
d,(xex ); 
б) 
d, 
^ a r c s i n .
Найти:
4  1-й способ. Согласно определению 2, п. 2.1, находим
а) d(xex*) = (хех3)' dx — ех3(2х2 +
1
) dx;
б) d (arcsin |^ |) = (arcsin j^y) dx = - ^ _ 1-
2-й способ, а) Согласно формул б), п. 2.5, имеем
d(xex ) = ех dx-\-xd(ex ).
По формуле г), п. 2.5, d(ex3) = ех2 d(x2) = ex%2xdx. Таким образом,
d(xex ) = ех dx + 2х2ех dx = ех (2х2 + l)dx.  
б) Пользуясь формулой г), п. 2.5, имеем
d I arcsin —;
V 
М
поэтому окончательно
(arcsin и)1 du, 
и = р т, 
du = d ( p j J = - Дг <2(|x|) =
dx,
d ( arcsin
V 
M
- 1
sgn 
X
dx = —
dx
Хл/х2 — 
1
3 6 .
d(uv 2).
◄ По правилу дифференцирования дроби (см. в), п. 2.5), находим
, / и \ 
v2 du — и d(v2) 
du 
2
udv
<*( — ) = --------4 
= — ----- — .
\v* / 
V* 
v* 
VJ
3 7 .
d (arctg —^ .
4  Используя формулы в) и г), п. 2.5, имеем
, /
и \  
1
, / и \
vdu — udv
d r
ctg v )  = I T T i f d In J = — » + , " • *
+(ir)2
4  Поскольку
f ' ( u ) = ± f ( u ) :
df (u) 
du ’
(
1
)
где 
и — 
дифференцируемая функция некоторой переменной, то данные примеры можно ре­
шить двумя способами.

а) Обозначая 
и = х 3 и пользуясь первым равенством (1), имеем 
d 
, 3 
Г, _6 
_ Э \ _
d ! 
^ 2 
„ 3 \ _
о . . 2
, . 3 Ч/ 
,
. . .
0 - 2 _
1
 
. „ 3
о _ е
130 
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- ( я
3
— 2 я
6
—
я 9 ) = — ( и — 
2и
— 
и )
=
(и
— 
2uJ
— 
и )
=
1
— 4 « — З и = 1 — 4 а ; — З я , 
я
ф
0 .
d(x3) 
du
Такой же результат можно получить, пользуясь вторым равенством (1);
d 
. 
з 
л 
6 
9
ч 
d(x3 
-  2я6 -
я9) 
(Зя2 — 12я5 
— 
9
я
8)
с
(
я
, 
„ 
3 
,
6
-------
(я 
— 2я — X ) = ----------------------- ----------------------------------
1 — 4я — Зя , я ф 0.
d{я 3) v~ 
' 
d(x3) 
Зх2 dx
б) Вводя обозначение и = я 2 и используя первое равенство (1), имеем
d
 
/sin
я 
\
_
d (
 sin ч/йЛ 
_
( sin 
л / и \
 
_
л/ ucos
 ^/й — sin ч/й 
_ я cos я — 
sin 
x 
d(
я2) 
\
x 
) 
du
у у^й у
( У й у 
lus/v,
 
2
я
3
Если же воспользуемся 
в т о р ы м
равенством (1), то получим
, 
j / sin аг \ 
д,' cos х — sin х ,
d
(
s m я Д 
^ -------
dx
х ф
0
.
2
я с£я
я cos я — sin я
2Я3 
’
d(x2) V х 1 
d(x2)
39. 
Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно sin 29°.
4 Значение sin 29° относительно мало отличается от sin 
3 0 ° ,
так как и а = 29° отно­
сительно мало отличается 
о т « о = 3 0 ° .
Поэтому для приближенного вычисления sin 29° 
воспользуемся формулой 
( 4 ) , п .
2.4, взяв 
/ ( я ) = . з т я .
Тогда получим
7Г 
1 
1Гл/3
sin 29°
7Г 
. . 
,/
Silt “ — (sill 
X)
га -  180
360
= 0,484 . . . . ►
4 0 .
Доказать 
формулу 
\ J а
2
+ х
=
а 
+ - --- г, 
а > 0 , я > 0 ,
где 
0 
<
г
<
.
2а 
8а3
◄ Если считать а; малым 
( я
«С а 2), то по формуле малых приращений получим
1
2
y/t
■ х — а
-)-------.
2
а
л/а
2
 
+ я -
а
а +
Погрешность этой приближенной формулы
х 
г г
,— 
(
1 
1
г = а + - -----у г -)- я = я --------- т=0—  ---- . - _ 
--------- —. _ ------ ~ ^ = = -------
2а 
\ Za 
v a 2 + х + a j  
2а (ч/а2 + я + а) 
2а (л/а2 + я + а)
тем меньше, чем меньше я > 0. Однако для любых я > 0 она меньше ~ f  и, как следует из 
(1), л/а2 + я = а + ^ — г, что и требовалось доказать. ►
41. 
Доказать приближенную формулу л/ап +
 
я 
и 
а 
-(---
j- ) а 
> 
о, где |я| 
<
а " .
(1)
•4 Поскольку ) я | < ап , то к функции 
f : у 
\ / Т + у , гд e y = i
| эффективно применима
формула малых приращений: 
а
/(У) я /(0 ) + /'(0)у.
откуда
на основании чего
ч/а" + я = « \ А + ~ Я а ( l +
= а +
V 
а’1 
\
пап /
42. 
Н айти 
я ), если:
a) f (я) = ( е - *4 , 
sin(ftz2), cos(«z4), 
sli 
! б) 
/ ( я )
= e
a:
n a * -1 1
B) /(* ) = г
x 2 + i 
_4 
4 
/ arcsin (iz4) 
arctg я2
г) / ( я ) =
я
3
-)- Згя + 4г + 5 ’ 
у 
0
◄ Используя формулу 
d f ( я) = f ' ( я
) 
d x .
 
имеем:
5l/'(0)|2*
1
sin 
LOX

а) d f (х) = ( - З к х 2е~кх , 2«z cos(«z2) , -4 « :с 3 sin ^ ic 4), i ch ( |
г
)^Ф
е
;
б)
df(x) 
=
(cos(ax2) 
+
isin(ax2))' dx 
= 2ax (—sin (« г 2) +
icos(nx2)) dx;
o') d f ( x ) = ( ___ ______ У dx = ~
д
4+2
д
:(5-4.4,)+3 dx-
в; aj (X) 
^,г.з+з,-3.+41-+ь J ax 
(.тЗ+з^+^+ьр a x >
/
4 t j
3
2 x  
g
\
r) df(x) = j л/1-*8*8 
1+l4
§ 2. Дифференциал функции
0 
i|/ '(0 )|2 * ln 2
LO
COS 
WX
Под |A |, A — (uij), понимаем величину
dx.
И1 =
Поскольку
/'(« ) =
откуда |/'( 0 ) | =
¥i/'(o)i «
, E i -
\ i,)= 1
, TO 
|/'( 0 ) | =
In2 2
l / ' (
0 )|2
 + « 2,
. Таким образом,
df(x) =
\ / l — tsx* 
0
2x
l+*4
о
U>
COS 
LJX
dx. ►
131
4 3 .
Пусть при вычислении 
функциональной 
матрицы 
A(t
) была допущена погрешность 
dA(t).
 
Предполагая, что существует 
A ~ l (t),
найти приближенно погрешность вычисления
A ~ l (t),
 
которая будет соответствовать 
dA(t).
< Поскольку H (t)A _1(t) = I , то
((<М)А~1 + Л(<2(Л-1 )) = 0) =► ( d( A~l ) = - A ~ 1( d A ) A~ 1). ►
П
4 4 .
Пусть A(t)
квадратная функциональная матрица с модулем |Л| =
\
2
*.
j
=
i
где а,у — ее элементы, дифференцируемые на некотором интервале. Оценить модуль диффе­
ренциала ее собственных чисел как функций t.
А Собственные вектор-функции X и соответствующие им собственные числа А, как ска­
лярные функции переменной t, удовлетворяют спектральному уравнению:
A ( t ) X ( t ) = A (i)X (t).
(
1
)
Считая для определенности, что 
|X(t)| = 
на X ( t ) ,  получаем
‘ П
7 2 1*.(*)12 = 1, и умножая равенство (1) скалярно
(A (*)X (*),X (i)) = A(t).
(
2)
Дифференцируя (2), находим
d \
= 
(d(AX),  
X) + 
( А Х , dX)
= ((
d A ) X , 
X) + 
( AdX,  X ) 
+ (ДХ, 
dX),
откуда
|\(dA) X ||X | + \A ^
|+
H ||d X ||X | 
+
H ||X ||i X | 
=
\dA\ 
+ 2|Л||«*Х|. ►
4 5 .
Пусть дифференцируемая функция р такова, что f(ip(t)) = < 
на 
[t0, П], где / — 
дифференцируемая функция и 
не равна нулю. Найти dip.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: