3 .1 .
Af(xa) =
2
s i n ( г — т о ) +
(
\ / l
+
( т —
т 0)2
—
1
)Ф(х
—
хо),
г д е
,,
ч
! In |т — тоI, х ф То.
ф(х
—
Хо)
—
О,
Л х о .
< Так как существует конечный предел
lim M £ £ l
x
~*X
q
X — U
q
lim
2
sm(a
To
)
s / \ + (x — x ay - 1
X — T o
+
T — T o
In I
t
— то I =
to
функция
/
дифференцируема в точке
т о
и
d f ( x 0
) =
2dx.
►
3 2 .
Д /(
1
) = ( т - 1)? + ( т - 1)1.
◄ Поскольку
lim —
= lim (
(х
— 1)з -|- (т — 1)~з | = оо,
х —
1
*-*1
\
/
то функция / не дифференцируема в точке х = 1. ►
3 3 .
A f (то) = (sin — ---- - 1
п(1
+ (х - то)2), е * '* 0 - l ) .
\
I — д;о
/
◄ Рассмотрим предел
Bn,
-
1
-s m --------
, lim ------------
-t— J
41
X
— То
— То
Т — То
X
— То
Т — То
Поскольку
lim
Ill(l + (т - То)2) _
ех~х° —
1
= 0,
lim --------------= 1,
х — х а
X
— То
х —*-хц
X — Х о
то существует конечная производная вектор-функция f :
f'(To) = (0, 1).
Следовательно, вектор-функция f дифференцируема и
d f (то)
= (
0
,
1
) dx = (
0
, dx). ►
/
3 4 .
Д/(®о)
|т
— То| + Т —
То
1
arcsm
(*-*о)
2
s n ( t —
( °'‘"1* - х°:£ \ (х-х„А
;
X
—
Хо
§ 2. Дифференциал функции
129
◄ Вычислив пределы
I
_ j_
__i_
/ ш
3
\
/
1
\
lim — arcsin е a
2
= lim е l>2 h
1
=
0
,
lim I —— h i ) =
1
,
lim hsgn ( tg — ) =
0
,
ft—о
h
л—о
/»—о ^ ft
у
ft—о
4
f t /
fa, г (iif) *’ = fa (
t
O *’ fa (i
^
' 1
■**»)=«.
получим
/ ' ^ = , Ь
о
7
^ = ( 2 ! ) ’
т. e. матричная функция
f
дифференцируема в точке хо, и
df(xo) =
( J
I
)
dx =
(
J **
)
.
3 5 .
a)
d,(xex );
б)
d,
^ a r c s i n .
Найти:
4 1-й способ. Согласно определению 2, п. 2.1, находим
а) d(xex*) = (хех3)' dx — ех3(2х2 +
1
) dx;
б) d (arcsin |^ |) = (arcsin j^y) dx = - ^ _ 1-
2-й способ, а) Согласно формул б), п. 2.5, имеем
d(xex ) = ех dx-\-xd(ex ).
По формуле г), п. 2.5, d(ex3) = ех2 d(x2) = ex%2xdx. Таким образом,
d(xex ) = ех dx + 2х2ех dx = ех (2х2 + l)dx.
б) Пользуясь формулой г), п. 2.5, имеем
d I arcsin —;
V
М
поэтому окончательно
(arcsin и)1 du,
и = р т,
du = d ( p j J = - Дг <2(|x|) =
dx,
d ( arcsin
V
M
- 1
sgn
X
dx = —
dx
Хл/х2 —
1
3 6 .
d(uv 2).
◄ По правилу дифференцирования дроби (см. в), п. 2.5), находим
, / и \
v2 du — и d(v2)
du
2
udv
<*( — ) = --------4
= — ----- — .
\v* /
V*
v*
VJ
3 7 .
d (arctg —^ .
4 Используя формулы в) и г), п. 2.5, имеем
, /
и \
1
, / и \
vdu — udv
d r
ctg v ) = I T T i f d In J = — » + , " • *
+(ir)2
4 Поскольку
f ' ( u ) = ± f ( u ) :
df (u)
du ’
(
1
)
где
и —
дифференцируемая функция некоторой переменной, то данные примеры можно ре
шить двумя способами.
а) Обозначая
и = х 3 и пользуясь первым равенством (1), имеем
d
, 3
Г, _6
_ Э \ _
d !
^ 2
„ 3 \ _
о . . 2
, . 3 Ч/
,
. . .
0 - 2 _
1
. „ 3
о _ е
130
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- ( я
3
— 2 я
6
—
я 9 ) = — ( и —
2и
—
и )
=
(и
—
2uJ
—
и )
=
1
— 4 « — З и = 1 — 4 а ; — З я ,
я
ф
0 .
d(x3)
du
Такой же результат можно получить, пользуясь вторым равенством (1);
d
.
з
л
6
9
ч
d(x3
- 2я6 -
я9)
(Зя2 — 12я5
—
9
я
8)
с
(
я
,
„
3
,
6
-------
(я
— 2я — X ) = ----------------------- ----------------------------------
1 — 4я — Зя , я ф 0.
d{я 3) v~
'
d(x3)
Зх2 dx
б) Вводя обозначение и = я 2 и используя первое равенство (1), имеем
d
/sin
я
\
_
d (
sin ч/йЛ
_
( sin
л / и \
_
л/ ucos
^/й — sin ч/й
_ я cos я —
sin
x
d(
я2)
\
x
)
du
у у^й у
( У й у
lus/v,
2
я
3
Если же воспользуемся
в т о р ы м
равенством (1), то получим
,
j / sin аг \
д,' cos х — sin х ,
d
(
s m я Д
^ -------
dx
х ф
0
.
2
я с£я
я cos я — sin я
2Я3
’
d(x2) V х 1
d(x2)
39.
Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно sin 29°.
4 Значение sin 29° относительно мало отличается от sin
3 0 ° ,
так как и а = 29° отно
сительно мало отличается
о т « о = 3 0 ° .
Поэтому для приближенного вычисления sin 29°
воспользуемся формулой
( 4 ) , п .
2.4, взяв
/ ( я ) = . з т я .
Тогда получим
7Г
1
1Гл/3
sin 29°
7Г
. .
,/
Silt “ — (sill
X)
га - 180
360
= 0,484 . . . . ►
4 0 .
Доказать
формулу
\ J а
2
+ х
=
а
+ - --- г,
а > 0 , я > 0 ,
где
0
<
г
<
.
2а
8а3
◄ Если считать а; малым
( я
«С а 2), то по формуле малых приращений получим
1
2
y/t
■ х — а
-)-------.
2
а
л/а
2
+ я -
а
а +
Погрешность этой приближенной формулы
х
г г
,—
(
1
1
г = а + - -----у г -)- я = я --------- т=0— ---- . - _
--------- —. _ ------ ~ ^ = = -------
2а
\ Za
v a 2 + х + a j
2а (ч/а2 + я + а)
2а (л/а2 + я + а)
тем меньше, чем меньше я > 0. Однако для любых я > 0 она меньше ~ f и, как следует из
(1), л/а2 + я = а + ^ — г, что и требовалось доказать. ►
41.
Доказать приближенную формулу л/ап +
я
и
а
-(---
j- ) а
>
о, где |я|
<
а " .
(1)
•4 Поскольку ) я | < ап , то к функции
f : у
\ / Т + у , гд e y = i
| эффективно применима
формула малых приращений:
а
/(У) я /(0 ) + /'(0)у.
откуда
на основании чего
ч/а" + я = « \ А + ~ Я а ( l +
= а +
V
а’1
\
пап /
42.
Н айти
/(
я ), если:
a) f (я) = ( е - *4 ,
sin(ftz2), cos(«z4),
sli
! б)
/ ( я )
= e
a:
n a * -1 1
B) /(* ) = г
x 2 + i
_4
4
/ arcsin (iz4)
arctg я2
г) / ( я ) =
я
3
-)- Згя + 4г + 5 ’
у
0
◄ Используя формулу
d f ( я) = f ' ( я
)
d x .
имеем:
5l/'(0)|2*
1
sin
LOX
а) d f (х) = ( - З к х 2е~кх , 2«z cos(«z2) , -4 « :с 3 sin ^ ic 4), i ch ( |
г
)^Ф
е
;
б)
df(x)
=
(cos(ax2)
+
isin(ax2))' dx
= 2ax (—sin (« г 2) +
icos(nx2)) dx;
o') d f ( x ) = ( ___ ______ У dx = ~
д
4+2
д
:(5-4.4,)+3 dx-
в; aj (X)
^,г.з+з,-3.+41-+ь J ax
(.тЗ+з^+^+ьр a x >
/
4 t j
3
2 x
g
\
r) df(x) = j л/1-*8*8
1+l4
§ 2. Дифференциал функции
0
i|/ '(0 )|2 * ln 2
LO
COS
WX
Под |A |, A — (uij), понимаем величину
dx.
И1 =
Поскольку
/'(« ) =
откуда |/'( 0 ) | =
¥i/'(o)i «
, E i -
\ i,)= 1
, TO
|/'( 0 ) | =
In2 2
l / ' (
0 )|2
+ « 2,
. Таким образом,
df(x) =
\ / l — tsx*
0
2x
l+*4
о
U>
COS
LJX
dx. ►
131
4 3 .
Пусть при вычислении
функциональной
матрицы
A(t
) была допущена погрешность
dA(t).
Предполагая, что существует
A ~ l (t),
найти приближенно погрешность вычисления
A ~ l (t),
которая будет соответствовать
dA(t).
< Поскольку H (t)A _1(t) = I , то
((<М)А~1 + Л(<2(Л-1 )) = 0) =► ( d( A~l ) = - A ~ 1( d A ) A~ 1). ►
П
4 4 .
Пусть A(t)
квадратная функциональная матрица с модулем |Л| =
\
2
*.
j
=
i
где а,у — ее элементы, дифференцируемые на некотором интервале. Оценить модуль диффе
ренциала ее собственных чисел как функций t.
А Собственные вектор-функции X и соответствующие им собственные числа А, как ска
лярные функции переменной t, удовлетворяют спектральному уравнению:
A ( t ) X ( t ) = A (i)X (t).
(
1
)
Считая для определенности, что
|X(t)| =
на X ( t ) , получаем
‘ П
7 2 1*.(*)12 = 1, и умножая равенство (1) скалярно
(A (*)X (*),X (i)) = A(t).
(
2)
Дифференцируя (2), находим
d \
=
(d(AX),
X) +
( А Х , dX)
= ((
d A ) X ,
X) +
( AdX, X )
+ (ДХ,
dX),
откуда
|\(dA) X ||X | + \A ^
|+
H ||d X ||X |
+
H ||X ||i X |
=
\dA\
+ 2|Л||«*Х|. ►
4 5 .
Пусть дифференцируемая функция р такова, что f(ip(t)) = <
на
[t0, П], где / —
дифференцируемая функция и
не равна нулю. Найти dip.
|