Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- = d t ) => (/£( = ^ ■
- ={">§ 3. Производная обратной функции 133 Найти d f ( 0), если: "•(*>={
- § 3. П роизводная обратной функции. П роизводная функции, заданной параметрически. П роизводная функции, заданной в неявном виде
- § 3. Производная обратной функции
- e f(sin t + cos t) e f(cos t — sin t) e£
- 5 2 . 2 / = / » dy_ dx 3 sin 2 t 1 _ ,t 2 (2 + sin
- — cos t sin t \ , c h i sh t Г dx = 3(1 + t2)dt, 1 — c o s
- 5 4 . 13 + 2/3 = 1 . /(* ) f ( x ) + x - 2 f ( x ) - х f (x ) ф х . > 4 ство
| 132
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ^ Поскольку функции f и ip дифференцируемы, то сложная функция f o p также диф ференцируема и = d t ) => (/£( = <*t) => ^ ■ ► Упражнения для самостоятельной работы Найти дифференциалы следующих функций: 83. ^ « t i g ^ In + , . fc x б) / •• * *-* fa rc tg ( f j ? ) 2 + 1; в) / : * ^ Ё т « ) / : * - * ( ^ t ) i в) / : x и ln(«2(x) + n2(x)); г ) / : х н и2(1пх) + в2 (In x). 85. a) f ■ ■ -* p(^)cos¥>; 6) f : tp >-* p{p) $in(ui( 86. а) / : < н 6) / : i w £ c o a ( f c t x ) t fcal в) / : < * — * t2 4- <г/2 + г/4 J r ) / : i H j Tf Z i +1 ■ 87. a ) / : * H ^ + i ( t J + 3 ); 6) / : x ^ в) / :* h cos x3 + t sin Зх2; г) / : x к e 'sln wx. д) f : xh -8 ( f |/( x ) |, a2(x)j. 89. / : х н ei ег ез \ м(х) n(x) m(x) ; sin x cos г 1 / X w(a:)(e u(*), tg u (x ), u(x)); 93. f : 11-*- l n ^+T и(х) sin w(x) ) • 80. / : X H+ [ sgn X V м X-V *+y sin(tx) *2+l \ *2-1 I cos(tj/) / 92. / : x ^ / e(V,»>) V sh (V', v) Oll(t) 021(1) 012 ( 1 ) .. 022 ( 1 ) . • 9 9 to h- 3 3 ( *i(<) \ *a(l) ®ml (t) ®m2 (^) • • J V *»(1) / 1*1 tg (V>, ¥>) \ ch (V1, V>) ) ' 94. Пусть f(x ) = (/i(x ), h { x ) , , /п(х)), где /,, i = 1, n, — дифференцируемые функ ции. Найти d (|/(x )|). 95. Пусть /( x ) = (oij(x)), i, j = 1, n, — дифференцируемая функциональная матрица. Найти cf(|/(*)l)- 96. Приближенно вычислить: a) sin 16°; б) arctglOO; в) arcsin0,99. 97. Показать, что при х > х0 > О , тг 1 arctgx И ------- . 2 х 98. Пользуясь приближенными формулами cos х и 1 — —, sin х и х + «X3, |х| < 1, найти коэффициент а. Указание. Ввести в рассмотрение тождество sin х — 2 sin j cos j . § 3. Производная обратной функции 133 Найти d f ( 0), если: "•'(*>={ I , ' ' 1 = 0. 100. /( х ) = (и (х ))''^ , dw(0) = 5dx, dv(0) = —| dx, «(0) = е, «(0) = 1. 101. /(х ) = arcsin ( in(i+x) , n f Vi-Mn«*+ ЧЛ+зх'-г 102. f ( x ) = < “ CIJI ’ ^ ’ 103. f ( x ) = < e*3- l ’ l o, * = 0. I 0, 104. f( x ) = ' arc,i"* 105. f + 3* , x # 0 , H f ( 0 ) = (0, 1). (*) = W * ) . * i ‘ » , « f ( 0 ) = № ».»)■ / c o s(a:e2^ ) — c o s ( x e - 2 x ) ln ( 7 + a:2 e a:) \ / 106. f { x ) = \ x 2 in(*+Vi+*2) , x ^ O , и / ( 0 ) = ( X2 In x J \ X ф o, x = 0. 0 0 0 0 107. Пусть a* = (a*i, a*2, , akn), а* € £ n , к = 1, м, — векторы, имеющие общее начало. Абсолютное значение определителя Oil а п . -. am Я 21 a n • • • « 2 n 0>nl an 2 • •• Ann Е п , X = fllOl + 6 2 a которую принято называть параллелотопом. Найти объемы бесконечно малых параллелотопов, построенных на касательных векторах, проведенных в точках пересечения следующих кривых: a) fi(t) = (t, t2), f2(t) = (f3, t ); 6) fi(t) = (t, t2, i3), f2(«) = (t3, l2, 1). *>(<) = (s umt I, 1, l4); в) fi(t) = (t, <2, t3, t4), f2(<) = (t2, <3, t \ t), f з(<) = (t3, Л t, t2), f k(l) = (l4, t3, t 2, <)• § 3. П роизводная обратной функции. П роизводная функции, заданной параметрически. П роизводная функции, заданной в неявном виде 3.1. Производная обратной функции. Дифференцируемая монотонная функция / :]а, Ь[—► К с необращающейся в нуль произ водной имеет обратную дифференцируемую функцию / - 1 , производная которой вычисляется по формуле 3.2. Производная параметрически заданной функции. Если функция / задана параметрически х = У = if’(t), где у = /( х ) и функции и ф дифференцируемы, причем 0, то /'( * ) = ¥>'(*) ' 134 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3.3. Производная неявно заданной функции. Если у — f ( x ) — дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, у) = 0, т. е. F(x, f ( x )) = 0 на некотором интервале ]а, 6[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения /(* ))) = 0. 4 6 . Показать, что существует функция у = /(ат), определяемая уравнением у — esin у = х, 0 ^ е < 1, и найти производную f '(x). 4 Функция р : у х = у — esin у — дифференцируемая на ] — оо, +оо[, и ее производная <р' : у I— > 1 — е cos у положительна. Следовательно, функция р, будучи строго монотонно возрастающей, имеет обратную, также монотонно возрастающую и дифференцируемую функцию / . Ее производ ная /ч * ) = - 4 - т = 1 - 1 ■ ► Р{ У) 1 с cos у 4 7 . Определить область существования обратной функции х — <р{у) и найти ее произ водную, если у = х + I n х, х > 0 . 4 Поскольку (а: + In х)' = 1 + j > 0, то функция / : t к t + l n i строго монотонно возрастает при х > 0. Следовательно, она имеет обратную и v ( y ) 1 /'( * ) х х + 1 ’ При 0 < х < + о о имеем —оо < у < + о о , т. е. обратная функция существует на всей числовой прямой. ► 4 8 . Выделить непрерывные ветви обратных функций х = р(у) и найти их производные, если у — 2х2 — г 4 . 4 Функция / : i h 2 х 2 — х 4 — дифференцируемая, и ее производная f ' : x i ~ * 4х(1 — х2) со храняет знак на интервалах ] — о о , —1[, ] —1, 0 [ , ] 0 , 1 [, ] 1, + о о [ . Следовательно, на каждом из соответствующих интервалов ] — о о , 1[, ] 0 , 1 [ , ] 0 , 1 [ , ] — о о , 1 [ существует дифференцируемая обратная функция. Обозначив через pi, i = 1, 4 , эти функции (х ~ pi(y)), имеем ip, : ] - о о , 1 [ — ] - о о , — I f , <р 2 ■ ] 0 , 1 [ —* ] — 1 , 0 [, <рз : ] 0 , 1 { —> ] 0 , 1 [, pi :) - о о , 1 [ — ] 1 , + о о [ , причем, судя по знаку производной 4 х ( Г - * У функции р\ и рз монотонно возрастают, а функции рз и р\ монотонно убывают. Решив уравнение х 4 — 2х2 + у = 0 относительно х, можно получить функции р, в явном виде: х = Р\(у) = - y j 1 + - У’ х = Ч>*( у ) = ~ \ J X ~ х/1 - У’ х = Рз(у) = \Ji - \ Л - У> х = 4>*{y)\Jl + \ Д - у . ► Найти производные f '( x) , если: 4 9 . х = \ / l - \Д, у = \ Л - \ft (у = /(х )). 4 Найдем сначала = з (1 - ift)' = ~ v'*) 3 . » = г 2 у 1 - 1 о < t < 1. § 3. Производная обратной функции 135 Далее, пользуясь формулой пункта 3.2, имеем /'(* ) / yt _ 1 t 6 (1 - r t f (1 - Г у . ► 5 0 . y = (e ‘ sm t, e ' c o s t, e‘), x = t + f (y = f ( x ) ) . ■4 Поскольку dy = (^(e/sm t), d(e‘ cost), d(e‘)) = (sin t + cost, cost — sin t, l ) e £dt, dx = (1 + 5t4) tii, то , _ dy f e f(sin t + cos t) e f(cos t — sin t) e£ A ^ ’ ~ l x ~ l " 1 + 5i4 ’ 1 + 5*4 ’ 1 + 5<4 i ' TO 5 1 . у = cos'51 + г sin 3 t, x = 2t — cos t ( i2 = —1; у - f(x)). 4 Поскольку dy — (—3 cos2 t sin t + 3isin2 t cos t) dt, dx = (2 + sin t) dt, 5 2 . 2 / = / » dy_ dx 3 sin 2 t 1 _ ,t 2 (2 + sin t) 6 ' * - sin t 1 — cos t sh t cli t x = 3 t + t 3 (y = f{x)). 4 Имеем dy 1 — cos t sin t \ , c h i sh t Г dx = 3(1 + t2)dt, 1 — c o s t s i n t j+t2 i +t2 rh t sh t i+t2 T+t2 . ► Найти производные f функций / : x >->■ у, заданных уравнениями: 5 3 . х2 + 2ху — у2 = 4х. ◄ Пусть у = /(а:) — дифференцируемое решение данного уравнения. Тогда 1*. х2 + 2xf{x) — (f(x))2 = 4х (1) на некотором интервале. Поскольку все члены в тождестве (1) дифференцируемы, то из (1) после дифференцирования получаем 2х + 2 /(т ) + 2xf' (x) - 2f ( x ) f ' ( x ) = 4, откуда 2 2 5 4 . 13 + 2/3 = 1 . /'(* ) f ( x ) + x - 2 f ( x ) - х f (x ) ф х . > 4 ство Подставив в данное уравнение дифференцируемое решение у = f ( x ) , получим тожде- 2 2 X3 + (f ( x ))3 = 1, дифференцируя которое, имеем Отсюда находим г з + ( f ( x)) з f \ x ) = 0 . /'(* ) f ( x ) 1 _ 3 х ф 0 . ► 5 5 . Найти если у = f ( x ) и р = ар (р, уз — полярные координаты). 136 4 Поскольку у = pcosy, я = /э sin ^ > то у = a y sin y , х = ay c o sy . Далее, dy = a(siny + усов ip) dip, dx — o(cos р — ip sin у) dip. Отсюда, если a(cos у — у sin у) ф 0, находим f ' ( x \ _ жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|