Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл



Pdf көрінісі
бет62/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

к 
= 1, п.
86

Доказать, что у многочлена Чебыш ева-Эрмита
Нп(х)
( -
1)
, Л" 
2
п Х* и
/ — x z \
е — (е )
dxr>
все нули действительны.
◄ Рассмотрим функцию а : г и е.~х . Очевидно, Km и^]\ х )  = 0, поэтому функции ф Р ,
_____
х —*о о
= 0, ji, удовлетворяют условиям примера 81 на интервале ] — оо, +оо[. Повторяя рассужде­
ния, проводившиеся при решении предыдущего примера, приходим к выводу, что и обраща­
ется в нуль, по крайней мере, в одной точке этого интервала; и" — в двух точках; . .. ; uiP


в п точках. Поскольку Н„(х) = (—1)"е* и ^ ( х ) есть многочлен n -й степени, имеющий ровно 
п нулей, то его нули совпадают с нулями функции u(n) и все эти нули действительны. ►
8 7 . Найти функцию в 
=
в(х0, Дх) такую, что /( х 0+ Д х ) - / ( х о) = Д х /'(х о+ 0 Дх), если:
a) /(x ) = ax2 + J x + c, a /О ; б ) /( х ) = х3; в ) / ( х ) = -+ г ) / ( * ) * е в .
◄ Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к каждой из функций а) - г), 
имеем:
а) о(х0 + Д х)2 + 6(х0 + Дх) + с - (ах2 + Ьх + с) = Дх(2а(х0 + в А х )  +
6), 
откуда 
в
=
б) (хо + Д х)3 — Хо = 3 Д х(х0 + в Дх)2, откуда в(ха, Дх) = ------ ^------г—;------------ х0 > О,
Дх > 0;
§ 5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 
149
в) 
1
 
_
А.
_
**
* х о + Д х
x Q 
(
х о
— в А
х
) 2
г) е*“+д* 
-
е*° = А х е Х0+вЛх,


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   58   59   60   61   62   63   64   65   ...   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет