Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
6.1 анықтама Дифференциалдық теңдеулердің -ші ретті нормалды жүйесі деп
(6.4)
І-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жиынтығын айтамыз, мұндағы – тәуелсіз айнымалы, – белгісіз функциялар, ,, – олардың туындылары.
Түсініктеме. Нормалды жүйеде:
а) барлық теңдеулері , , туындыларына қарағанда шешілген;
б) белгісіз функциялардың туындылары тек І-ші ретті болады.
6.2 анықтама (6.4) жүйесінің жалпы шешімі деп еркін тұрақты , , , шамаларынан тәуелді және бойынша үзіліссіз туындылары бар
, , …, (6.5)
функциялардың жиынтығы аталады. Сонымен бірге төмендегі шарттар міндетті түрде орындалуы тиіс:
а) (6.5) теңдеулері , , , шамаларына қарағанда барлық () үшін, мұндағы – Коши есебінің шешімінің жалғыз болу облысы, шешіледі, яғни
(6.6)
ә) (6.6)-дан барлық , , , мәндерінде шығатын (6.5) функциялар жиынтығы (6.4) жүйесінің шешімі болады.
Коши есебі деп (6.4) теңдеулер жүйесінің
(6.7)
бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін айтамыз.
Бірте-бірте жою әдісі көмегімен -ші ретті нормалды жүйенің шешімін табу есебі -ші ретті бір дифференциалдық теңдеудің шешімін табу есебіне келтіріледі. Бұл әдістің мағынасы ізделінді функцияларды (6.4) жүйесінен бірте-бірте жоюда. Жүйенің бірінші теңдеуін айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз: . Жүйенің қалған теңдеулерін ескере отырып, алынған өрнекті мына түрде жазамыз
немесе ,
немесе , …,
, сонымен
(6.8)
жүйесін аламыз. Алғашқы теңдеуден шамаларын , , , …, арқылы өрнектеп алуға болады, яғни .
Достарыңызбен бөлісу: |
