Математика 3 Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы Алматы 2008
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
математика 3
- Бұл бет үшін навигация:
- Дәрежелік қатардың жинақталу интервалы мен радиусы
- Тейлор және Маклорен формулалары мен қатарлары. Функцияны дәрежелік қатарға жіктеу
- 10 дәріс Фурье қатары
| Дәрістің мақсаты: Студенттерді жуықтап есептеулерде жиі қолданылатын функциялық қатар, дәрежелік қатар ұғымдарымен таныстыру.
() функциялары облысында анықталған болсын. Онда (9.1) функциялық қатар деп аталады. Егер . (9.2) сандық қатары жинақталса, (9.1) қатары нүктесінде жинақты деп аталады. (9.1) қатары жинақты болатын нүктелерінің жиыны функциялық қатардың жинақталу облысы деп аталады. Жинақталу облысының әрбір нүктесіне функциялық қатарға сандық қатардың қосындысы деп аталатын сан сәйкес келеді. Бұл сәйкестік (9.1) қатарының жинақталу облысындағы қосындысы функциясын анықтайды. Функциялық қатар кейбір облысында мажоранталанатын қатар деп аталады, егер (9.3) жинақты қатары табылып, әрбір үшін теңсіздіктері орындалатын болса. (9.3) қатары (9.1)-ді мажоранталайтын (жоғарыдан шенейтін) қатар деп аталады. Дәрежелік қатар деп (9.4) түріндегі қатар аталады, мұндағы – дәрежелік қатардың коэффициенттері деп аталатын тұрақты сандар, – бекітілген сан. Егер болса, (9.5) түріндегі дәрежелік қатарды аламыз. (9.5) үшін дұрыс болатын тұжырымдар мен теоремалар (9.4) қатары үшін де дұрыс болады. Дәрежелік қатардың жинақталу интервалы мен радиусы 9.4 теорема (Абель теоремасы) 1. Егер (9.5) дәрежелік қа тары кейбір мәнінде жинақталса, онда теңсіздігіне қанағаттандыратын барлық -тер үшін (9.5) абсолютті жинақты болады. 2. Егер (9.5) дәрежелік қатары мәнінде жинақсыз болса, онда теңсіздігіне қанағаттан-дыратын барлық -тер үшін (9.5)-ші қатар жинақсыз болады. Барлық теңсіздігіне қанағаттандыратын барлық -тер үшін (9.5) дәрежелік қатары жинақты, ал теңсіздігіне қанағаттандыратын барлық -тер жинақсыз болсын. Бұндай теріс емес саны дәрежелік қатардың жи-нақталу радиусы деп аталады. аралығы (9.5)-ші қатардың жинақталу интервалы деп аталады. Егер кейбір нөмірінен бастап шарты орындалса, онда (9.5) дәрежелік қатарының жинақталу радиусы немесе (9.6) формулалары көмегімен есептеледі (бұл формулалардағы шектер бар немесе шексіз болады деп санаймыз). (9.6) формулалары сәйкесінше Д’Аламбер бел-гісімен немесе Кошидың радикалдық белгісімен қолданғанда пайда болады. Егер (9.4) түріндегі қатар берілсе, оның да жинақталу радиусы (9.6) формулалары көмегімен табылады, ал жинақталу интервалы центрі болатын интервалы болады. Дәрежелік қатарды өзінің жинақталу интервалында мүшелеп интегралдауға және дифференциалдауға болады және де қатардың жинақталу радиусы өзгермейді. Тейлор және Маклорен формулалары мен қатарлары. Функцияны дәрежелік қатарға жіктеу Егер функциясының нүктесінің маңайында -ші ретке дейінгі туындылары бар болса, онда (9.7) мұндағы , болатындай нүктесі табылады. (9.7) – функциясының нүктесінің маңайындағы Тейлор формуласы, – Тейлор формуласының Лагранж формасындағы қалдық мүшесі. көпмүшесі функциясының Тейлор көпмүшесі деп аталады. болғанда (9.7) формуласының дербес жағдайына келеміз (9.8) мұндағы , . (9.8) – функциясының Маклорен формуласы. Функцияның Тейлор қатарына жіктелуінің шартын келтіреміз. Егер функциясы нүктесінің маңайында шексіз көп рет дифференциалданатын болса және де осы нүктенің маңайында немесе (9.9) шарты орындалса, онда (9.10) Дербес жағдайда, егер болса, онда (9.11) болады. (9.10) – Тейлор қатары, ал (9.11) – Маклорен қатары деп аталады. (9.9) шарты (9.10) немесе (9.11) сұлбасы бойынша құрылған қатардың кейбір нүктесінің маңайында функциясына жинақталуының қажеті және жеткілікті шарты болып табылады. Әрбір жеке алынған жағдайда қатардың берілген функцияға жинақталу облысын табу қажет. Кейбір элементарлық функциялардың дәрежелік қатарға жіктелуін келтіреміз: (9.12) (9.13) (9.14) (9.15) (9.16) Жақша ішінде дәрежелік қатардың сәйкес функцияға жинақталу облысы белгіленген. (9.16) – биномиалдық қатар деп аталады, жинақталу интервалының шеткі нүктелерінде шамасының мәніне байланысты жинақты немесе жинақсыз болады: егер болса, онда (9.16) нүктелерінде абсолютті жинақты болады; егер болса, онда (9.16) нүктесінде жинақсыз, ал нүктесінде шартты жинақты болады; егер болса, онда (9.16) нүктелерінде жинақсыз болады. Жалпы жағдайда дәрежелік қатарға жіктеу Тейлор немесе Маклорен қатарларын пайдалануға негізделген. Бірақ, практикада көптеген функциялар-дың дәрежелік қатарын (9.12) – (9.16) жіктеулерінің немесе геометриялық прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу формуласының көмегімен алу-ға болады. Кейбір жағдайда қатарға жіктеуді белгілі қатарды мүшелеп диффе-ренциалдау немесе мүшелеп интегралдау көмегімен орындаған қолайлы бола-ды. Жинақталу интервалында қатарлар сәйкес функцияларға жинақталады. Мысал 9.1 - функциясын дәрежелері бойынша қатарға жіктеп, жинақталу облысын табу керек. Шешуі. Дәрежесін төмендету формуласы бойынша болады. Енді (9.13)-ке -тің орнына -ті қоямыз, сонда қатарын аламыз. Осы қатардың жинақталу радиусын табайық. болғандықтан, формуласы бойынша екенін аламыз. Сонымен, табылған қатар барлық үшін жинақты болады. № 10 дәріс Фурье қатары жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|