Математика 3 Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы Алматы 2008
Мазмұны: Функцияларды тригонометриялық Фурье қатарына жіктеу. Дәрістің мақсаты
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
математика 3
- Бұл бет үшін навигация:
- 10.1 теорема
- 10.2 теорема
- 11 дәріс Комплекс айнымалылы функция ұғымы
| Мазмұны: Функцияларды тригонометриялық Фурье қатарына жіктеу.
Дәрістің мақсаты: Серпіліс анализінде қолданылатын Фурье қатары ұғымын беру, функцияларды Фурье қатарына жіктеу мысалдарын келтіру. (10.1) түріндегі функциялық қатар функциясының Фурье қатары деп аталады, мұндағы , коэффициенттері (10.2) формулалары бойынша анықталады. Ескерте кететін жайт: әр уақытта да . (10.1) қатарының мүшелерін амплитудасы , жиілігі және фазасы болатын, гармоникалар түрінде жазуға болады. -ны , , , , (ақырлы сан) интервалдарға бөлгенде, олардың әрқайсысында монотонды болса, функциясы кесіндісінде үзінді-монотонды деп аталады. 10.1 теорема Егер периодты (периоды ), үзінді-монотонды және кесіндісінде шенелген болса, онда оны Фурье қатары кез келген нүктесінде жинақты, ал қосындысы болады. Теоремадан функциясының үзіліссіз болу нүктелерінде теңдігі орындалатыны түсінікті. -тің бірінші текті үзіліс нүктелерінде Фурье қатарының қосындысы функцияның оң жақты және сол жақты шектерінің арифметикалық орташасына тең болады. Егер -периодты функция болса, оның Фурье қатары (10.3) түрінде жазылады, мұндағы . (10.4) 10.2 теорема Егер периоды болатын периодты функциясы кесіндісінде үзінді-монотонды және шенелген болса, онда оның (10.3) түріндегі Фурье қатары кез келген үшін қосындысына жинақталады. Егер периодты функциясы жұп болса, онда ол Фурье қатарына тек косинустар бойынша жіктеледі, яғни , ал . Егер де периодты – тақ функция болса, онда ол Фурье қатарына тек синустар бойынша жіктеледі, яғни , ал . Әрбір -периодты функциясы және кез келген саны үшін теңдігі орындалған соң, Фурье коэффициенттерін , , мұндағы , формулалары бойынша есептеуге болады. функциясы кесіндісінде үзінді-монотонды және шенелген болсын. Бұл функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін оны ин-тервалына, осы интервалда үзінді-монотонды және шенелген болатындай етіп, жалғастырамыз. Табылған функцияны -да берілген функцияға жинақтала-тын Фурье қатарына жіктейміз. Егер берілген функцияны интервалына жұп түрінде жалғастырсақ, онда оның тек косинустар бойынша жіктелуін аламыз, ал егер тақ түрінде жалғастырсақ, онда -тың тек синустар бойынша жіктелуін аламыз. Мысалы, аралығында анықталған және -де теңдіктеріне сәйкес жалғастырылған функциясы тек синустар бойынша жіктеледі. Мұндай функцияның Фурье қатарының қосындысы ішінде -ке тең және 10.2 теоремасы бойынша , болады. Фурье қатары -тің үзіліссіз болу нүктелерінде функцияның сәйкес мәндеріне жинақталған соң, Фурье қатарларын сандық қатарлардың қосындысын табу үшін пайдаланады. Мысалы, егер функциясының -гі косинустар бойынша жіктелуің алсақ, төмендегі теңдікті аламыз . № 11 дәріс Комплекс айнымалылы функция ұғымы жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|