Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
| 3. R3-кеңістікте Остроградский формуласын қолдану.
Екі өлшемді толқын теңдеуі: Utt=Uxx+Uyy (5.10) сипаттаушы беті - төбесі кез-келген нүкте A(x0, y0, t0) және төбесіндегі бұрышы 900 болатын тік конус: К: (x-x0)2+(y-y0)2=(t-t0)2 Төбесі P(x,y,t) нүктесі болатын конус KP, төменгі жағынан S бетімен қоршалған аймақты қарастырайық. Остроградский формуласындағы функция төмендегідей болсын: V(P,Q)=ℓn[t-/+(t-)2/2-1] (5.11) Мұндағы: =, нүкте Q(,,). Функция V=V(P,Q) аргументі Q бойынша екі рет дифференциалданады және біртекті толқын теңдеуін (5.10) қанағаттандырады. Сипаттаушы конустың осі функция V(P,Q), ал сипаттаушы конуста болатынын тексеру қиын емес. Келесі белгілеуді еңгізейік, Төбесі нүкте P болатын конустың осімен бұрыш жасайтын, екінші тік конус - К жүргіземіз: t P K K/ y skmkm S x P0(x,y,t0) (Сурет №3.) Осі P0P түзуі болатын радиусы δ>0 дөңгелек цилиндр жүргіземіз. Цилиндрдің бүйір беті - деп белгілейік -аймақ конус k`, цилиндр бүйір беті және де қоршалған. Остроградский формуласын аймақ үшін жазып, =V, F=f(x,y,t) ескерсек, онда F(Q)dξdηdτ = - (5.12) теңдікті аламыз. Конус K/→K, функция V→0. Себебі конус K теңдеуі ρ2=(t- τ)2 немесе . Осыдан, . Сондықтан S - конус жасаушысы бойынша туындысы . Енді конус K туындысын есептейік: . Егер K/→ K, онда φ→, яғни . Сонымен (5.12) теңдікте соңғы интеграл нөлге ұмтылады, егер де ε→0. Цилиндірлік σ (ρ=δ) бетте функция V(P,P1)= Туындысы болғандықтан, теңдіктің (5.12) оң жағында бірінші интегралда цилиндірлік координата жазып шекке көшсек, аламыз. Сондықтан (5.12) теңдікте шекке ε→0, δ→0 көшіп мына түрде жазуға болады. Соңғы теңдікті t бойынша дифференциалдасақ, U(x,y,t)= (5.13) а) R2 –кеңістіктегі толқын теңдеуі: Utt =Uxx+Uyy+F(x,y,t) жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|