Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
| 40. Гидродинамика мен акустика теңдеулері
Сұйықтың қозғалысын сипаттайтын жаналар жылдамдық вектор V(x,y,z,t)≡{V1,V2,V3}, оның тығыздығы (x,y,z,t), қысым P(x,y,z,t) және сыртқы әсер ететін күштің тығыздығы F(x,y,z,t). Сұйықтың қозғалысының теңдеуін қорыту үшін кез-келген Sбетпен қоршалған Ω аймақтағы сұйықтың бөлігіне әсер ететін күштерді есептейік. Үйкеліс күші жоқ деп, яғни идеалдық сұйық үшін сыртқы қысым күші беттік интеграл - PNdS тең, мұнда N- S бірлік нормалдың вектор, pN=pcos(Nx)i+pcos(Ny)j+pcos(Nz)k Остроградский формуласын пайдаланып F1=-pNds=-gradp d S Ω теңдікті аламыз. Сұйық бөлігінің әрбір нүктесінің үдеуін есептеу үшін, оның қозғалысының траекториясы x=x(t), y=y(t), z=z(t) қисық десек, онда dV/dt=V/t+V/x x+V/y y+V/z z=V/t+V/x V1+V/y V2+ +V/z V3=V/t+(VV)V Мұнда V=i /x+j /y+k /z –Гамильтон операторы. Сұйықтың қозғалысының теңдеуін қорыту үшін, оның үдеуі мен сыртқы әсер ететін күштерді байланыстырып, теңдікта жазсақ жеткілікті. Тығыздығы F(x,y,z,t) сыртқы күштің Ω аймаққа әсері F2= Fd Ω Сондықтан dV/dt d=- grad pd+ Fd (3.16) Ω Ω Ω Осыдан Ω кез-келген болғандықтан Vt+(VV)V=-1/ grad p+F (3.17) Алынған теңдік идеалдың сұйықтық қозғалысының Эйлер формуласында теңдеуі деп аталады. 1)Сұйық үшін үздіксіздік теңдеуін қорытайық. Егерде ешқандай сыртқы әсер ететін күш көзі болмаса, онда Ω аймақтағы сұйықтың бірлік уақытта шамасының өзгеруі шекара S өтетін ағынның шамасына тең, яғни d/dt dV=-(V N) ds=- div(V)dV (3.18) Ω S Ω Осыдан /t+div(V)=0 немесе /t+V grad +dWV=0 (3.19) Теңдік (3.19) сұйық ортаның үздіксіздік теңдеуі деп аталады. Теңдеулер (3.17), (3.19) мен сұйықтық тығыздығы мен қысымын байланыстыратын күйді сипаттайтын r=f(r) теңдеуді гидродинамиканың толық жүйесі деп аталады. Толық жүйе бес белгісіздер u1,u2,u3,p,r бар бес теңдеулерден тұрады. 2) Акустика теңдеулері Алынған гидродинамиканың теңдеулерін дыбыстың газортада таралу процесін қолданайық. Күш F(x,y,z,t)=0 болсын, дыбыстың газда таралуы адиобатикалық десек, яғни p=po(r/ro)g, g=cp/cv po,ro- қысым мен тығыздықтың бастапқы мәндері, сp,cv- тұрақты қысым мен тұрақты көлемдегі өзіндік жылу сыйымдылығы. Газ ортаның конденсация деп S(x,y,z,t)=r-ro/ro шаманы айтады. Осы теңдіктен r=ro(1+ S) (3.20) Газ ортаның тербелісі аз шама десек, онда тығыздықтың өзгеруі мен `V`V аз шамалар деп, ескермеуге болады. Сондықтан толық жүйе p=po(1+ S)g»po(1+g S) `Vt+1/r grad p=0 rt+ro div `V=0 (3.21) түрінде жазуға болады. Теңдеулер (3.20) мен (3.21) функциялар `v мен s байланыстыратын `Vt=-a2 grad S a2=gpo/ro St+div `V=0 (3.22) жүйені аламыз.Жүйе (3.22) бірінші теңдеуіне оператор div қолдансақ, онда div(∂v/∂t)=∂/∂t(div`V)=-a2 div(grad S)=-a2∆S Осыдан екінші теңдеуді пайдаланып S(x,y,z,t) үшін толқын теңдеуін жазуға болады Stt=a2∆S (3.23) Алынған (3.20) мен (3.23) теңдеулерден тығыздық үшін де rtt=a2∆r (3.24) толқын теңдеуі шығады. Жүйе (3.22) бірінші теңдеуінен мына теңдікті алуға болады. t `V(x,y,z,t)=V(x,y,z,0)-a2 grad (òSdt) 0 Егер t=0 жылдамдық өріс потенциалды болса, яғни `V|t=0=-grad (x,y,z) онда t V=-grad [j(x,y,z)+a2 ò Sdt]=grad U 0 U- жылдамдық өрісінің потенциалы. Потенциал U үшін теңдеу алайық. Теңдеулер жүйесінен `V=grad U `Vt=-a2 grad S белгісіз `V жойсақ, онда S=1/a2 Ut теңдікті орынды. Теңдеу St+dw `V=0 пайдаланып потенциал U үшін Utt=a2∆U (3.25) толқын теңдеуді аламыз. Теңдік p=po(1+gS) дифференциалдап, мынадай теңдеулер алуға болады: ptt=rogStt ∆p=rog∆S Функция S(x,y,z,t) үшін (3.23) орындалады. Сондықтан қысым p(x,y,z,t) ptt=a2∆p (3.26) толқын теңдеуін қанағаттандырады. Жылдамдық `V=-grad U, ал Sx=1/a2 Ut болғандықтан потенциал`U үшін жүйе (3.22) екінші теңдеуін пайдаланып мына теңдеу алынады `Utt=a2∆®U (3.27) Теңдеулер (3.23)-(3.24), (3.26)-(3.27) акустика теңдеулері деп аталады. Акустика теңдеулері гиперболалық типке жатады. ________ Ескерту. Шама a=Ög ro/ro дыбыстың таралу жылдамдығын анықтайды. Мысалы. Қалыпты атмосфералық қысымды тәжірибеден белгілі g=7/3 ro=0,001293г/см3 ________ ro=1,033 кг/см2 тең. Сондықтан дыбыстың таралу жылдамдығы a=Ög ro/ro=336 м/сек 3) Сығылмайтын сұйықтың потенциалды ағыны. Гидродинамиканың негізгі теңдеуі (3.19) (f(x,y,t,z)¹0) сықылмайтын сұйықтар (тығыздық r(x,y,z,t)=ro=const) үшін мынадай div `V=-f(x,y,z)/ro түрде жазылады. Ағыс потенциалды болғандықтан j(x,y,z) функция табылып, өрістің әрбір нүктесінде `v(x,y,z)=-grad j теңдігі орындалады. Осы екі теңдіктен `V жойсақ, онда div(grad j)=∆j=f(x,y,z)/ro (3.28) Пуассон теңдеуін аламыз. Егерде функция f(x,y,z,)=0, онда потенциал j(x,y,z) ∆j=jxx+jyy+jzz=0 (3.29) Лаплса теңдеуін қанағатандырады. Теңдеулер (3.28)-(3.29) эллиптикалық типке жатады. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|