Матрицы. Операции над матрицами. Свойства определителей
Системы линейных уравнений
жүктеу/скачать 83,05 Kb.
|
Лекция 1
| Системы линейных уравнений.
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными Решить систему уравнений методом Гаусса: x + y – 3z = 2, 3x – 2y + z = - 1, 2x + y – 2z = 0.
Выпишем расширенную матрицу данной системы и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: ~ ; б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую: . В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: x + y – 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.
Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7. Ответ: (-0,7; -1,2; -1,3) Системы m линейных уравнений с n неизвестными Система линейных уравнений имеет вид: a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2, … … … … am1 x1 + am1 x2 +… + amn xn = bm. Здесь аi j и bi (i = ; j = ) – заданные, а xj – неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде: AX = B, (5.2) где A = (аi j) – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,…, xn)T,
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,…, cn) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,…, xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,…, cn)T такой, что AC B. Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений. Матрица
A = , образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. жүктеу/скачать 83,05 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|