Методическая система подготовки студентов высшей педагогической школы к реализации линии практических приложений в курсе геометрии основной и старшей ступени общего образования
жүктеу/скачать 4,6 Mb. Pdf көрінісі
|
| 5. Под одним углом зрения
До сих пор мы говорили о том, что один и тот же предмет мы можем видеть под различными углами зрения. Столь же часто мы встречаемся и с другой ситуацией: пред- меты, имеющие разные линейные размеры мы можем видеть под одним и тем же углом зрения. И тогда их видимые размеры кажутся нам одинаковыми. Вам наверняка приходилось смотреть на небо в ясную погоду, когда на Солнце набегало легкое облачко. В этот момент можно разглядеть солнечный диск без вреда для зрения. Одновременно на небе днем бывает виден и лунный диск. Тогда отчетливо видно, что угловые размеры Луны и Солнца практически одинаковые, хотя их линей- ные размеры существенно отличаются. Видимый диаметр Луны равен 31 / 05 // , а Солнца – 31 / 59 // . Обратимся к такому известному природному явлению, как полное солнечное за- тмение. Это красивое зрелище возникает тогда, когда центр Луны (меньшего шара) ока- зывается на прямой, проходящей через глаз наблюдателя на Земле и центр Солнца (большего шара). В этот момент Луна полностью заслоняет Солнце, т. е. Луна и Солнце видны под одним и тем же углом зрения. Это было бы невозможно, если бы размеры тел, а также расстояние от них до Земли не состояли бы в определенной зависимости. Какой именно? Найдем условие, при котором это происходит. А сначала проделаем несложный опыт. 403 Возьмем два шара различного диаметра, например, теннисный мячик и шарик для игры в пинг-понг. Закроем один глаз и, держа шары в руках, расположим их так, чтобы меньший шар точно закрывал больший. Теперь оба шара видны нам под одним углом зрения. Как связаны между собой диаметры шаров и расстояния от них до глаза? Для простоты вычислений будем считать, что центр нашего глаза и центры шаров находятся на одной прямой. Пред- ставим себе, что проведена некоторая плоскость через наш глаз (центр которого совпа- дает с точкой О) и центры О 1 и О 2 шаров. Получим чертеж, изображенный на рисунке 22. Выберем диаметры кругов – отрезки АВ и CK так, чтобы АВ || СK. Введем обозначения: АВ = d, CK = D, ОО 1 = l и ОО 2 = L. По условию d < D, l L, АОВ = СОK. Треугольники ОАО 1 и ОСО 2 подобны по двум углам ( О – общий, А = С как соответственные углы при параллельных прямых АВ и СK и секущей ОС). Из подобия треугольников следует, что , 1 2 1 2 OO OO AO CO или l L d D (*). Это означает, что диаметр D во столько же раз больше диаметра d, во сколько раз расстояние L больше расстояния l. Только при таком условии шары видны под одним и тем же углом зрения. Заметим, что рассмотренные круги являются центрально-подобными фигурами. Точке A сопоставлена точка C так, что A и C лежат на луче с началом в некоторой точке О (рис. 22), причем ОC = k ОA, где . d D k Очевидно, что любой точке М меньшего круга можно сопоставить точку М 1 плоскости так, что точки М и М 1 будут лежать на луче с началом в фиксированной точке О, причем ОМ 1 = k ОМ. Если , d D k то точка М 1 при- надлежит большему кругу. Задание. Проверьте справедливость формулы (*) для Солнца и Луны, считая, что расстояние L от Земли до Солнца составляет приблизительно 150 млн км, расстояние l К С О 1 А В О Рис. 22 О 2 404 от Земли до Луны – 380 тыс. км, диаметр Солнца D 1,39 млн км, диаметр Луны d 3480 км. Подставив данные числа в равенство (*), получим, что 400 l L и . 400 d D Это означает, что при данных расстояниях и диаметрах Луна и Солнце имеют практически одинаковые угловые размеры. Поэтому в момент полного солнечного затмения видно, как диск Луны точно закрывает диск Солнца. Происходят ли солнечные затмения на других планетах нашей системы? Ученые утверждают, что только на Земле сложились условия для такого явления. Любые подобные фигуры можно расположить таким образом, что они будут видны под одним и тем же углом зрения. А могут ли произвольные фигуры быть видны под одним углом зрения? Утверждая так, имеют ввиду, что высоты этих фигур должны быть видны под одним углом зрения. Обнаруженная зависимость может быть использована в тех случаях, когда тре- буется найти недоступные для непосредственного измерения расстояния или размеры предмета. Задание. Определите расстояние от наблюдателя до товарного вагона, если из- вестно, что наблюдатель со своего места мо- жет закрыть вагон монетой, которую держит в вытянутой руке. Диаметр монеты - 3 см. Вы- сота вагона 2,5 м. Решение. Измерим расстояние от глаза до монеты в вытянутой руке (рис. 23). ОВ=l=55 см. Диаметр монеты известен: АВ=d=3 см. Вы- сота вагона также дана в условии задачи: CК=D=2,5 м. Необходимо найти ОК=L - рас- стояние от наблюдателя до товарного вагона. Рассмотрим ОАВ и ОСК. Они подобны К С А В О l L d D Рис. 23 405 по двум углам: О - общий, А= С как соответственные углы при параллельных пря- мых АВ и СК, и секущей ОС. Из подобия треугольников, как и в предыдущей задаче, получим: d D L l ; L 47 м. Этим способом определения расстояния удобно воспользоваться, когда размер отдаленного предмета известен, тогда легко можно приблизительно установить рассто- яние от него до нас. Задание. Определите высоту телеграфного столба, если на расстоянии 130 м он закрывается спичкой, которую наблюдатель держит в вытянутой руке. Спичка распо- ложена вертикально. Ее длина равна 4 см. Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользовавшись подобием соответству- ющих треугольников, приходим к формуле: d D L l . По условию L=130м, l=0,55м, d=0,04м, значит D= 130 0 55 0 04 , , 9,5(м). Такой способ позволяет найти высоту предмета, измерить которую невозможно. жүктеу/скачать 4,6 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|