Цель: Отработать навыки нахождения точек максимума и минимума, промежутков возрастания и убывания функции, используя график функции и график производной функции.
Методические рекомендации
О. Точка экстремума
О. Точка максимума
для всех х,
О. Точка минимума
для всех х,
Т. (необходимое условие экстремума)
1. определена в окрестности точки
2. существует
3. - точка экстремума
О. Стационарная точка
1.
2. корень
Примеры.
в )
Т. ,
возрастает на
Т. ,
убывает на
д )
Теорема. 1. , - стационарная точка
2. слева от
справа от
- точка минимума
2. слева от
справа от
- точка максимума
Применение производной
Алгоритм
I. Нахождение интервалов монотонности функции
1. Вычислить данной функции .
Найти критические точки, для этого решить уравнение .
Критическими точками разбить область определения на интервалы.
На каждом из интервалов определяем знак производной. Для этого берем произвольное число из рассматриваемого интервала и подставляем в производную функции. По знаку ответа определяем знак производной.
По знаку производной делаем вывод о возрастании, убывании функции.
Исследование функции на экстремум
Найти производную функции .
Решить уравнение и найти критические точки.
Критическими точками разбить область определения на интервалы.
Исследовать знак производной в некоторой окрестности каждой критической точки.
а) если при переходе через т. производная меняет знак с «+» на «-», - точка максимума;
б) если при переходе через т. производная меняет знак с «-» на «+», то т. - точка минимума.