Методняескне осяовьт. Учебное пособие
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
| Ма телати лес ким пре.дложеиием называют повество- вательное предложение, которое выражает суждение о матем атических объектах. Множество математических предложений , описыв ающи х какую -то струк туру или какой-то аксиомати зируемый класс структур, образует мателаmичес к ую meopию. В школьном курсе математики учащихся знакомят с аксиоматическим методом построе- ния теорий. Логическая структура такого построени я за— ключается в следующем:
Выделяются неопределяемые понятия теории. Одно понятие определяется через другое, но процесс определе- ния поняти я через другие не может бесконечно продол- жаться. Поэтому для построени я теории выбирают исход- ные понятия и их называют неопределяемьtми понятиями. Эти понятия описываются аксиомами. Акс пoкa — матема- тическое предложение, которое принимается без доказа- тельства в рамках данной теории. За аксиому изначально принимали очевидные утверждения. Построение математи- ческой научной теории предполагает выделение конечной системы аксиомы, обладающей свойствами непротиворе- чивости, полноты и независи мости. Все новые математические поняти я, теории опре- деляются непосредственно или опосредованно через не- определяемые понятия, а остальные — через уже опреде- ленньіе или неопределяемые и определенные понятия и т. д. Новые определения понятий включают лишь логически независимые свойства понятия (основное содержание). Остальные свойства логически зависимы от основного со- держания и выводятся из него. Отношения между поняти— ями выражают математические предложения. Все предложения теории, кроме аксиом, выводятся логическим путем с использованием законов логики, пра— вил вывода, положений теории множеств. Понятно, что в школе учащимся эти знания не даются, поэтому изучение математики ведется в рамках содержательной теории (от— сутствие законов логики, теории множеств и т. д.). Отметим, что в “Началах” Евклида (около III в. до н. э.) представлены 14 аксиом. Их оказалось недостаточно, чтобы вывести остальные утверждения логическим путем (11 7). Да и очевидность оказа.яась необязательна для аксиомы, что доказано открытие неевклидовой геометрии Н. И. Ло- бачевским и Я. Больяи. Они установили, что заменив 5-й постулат Евклида о параллельных прямых его отрицанием, можно чисто логическим путем развить другую геометри- ческую теорию. Этот dзакт заставил математиков XIX в. обратить вниманlзе на дедук тивный способ пост роени я математических теорий. Это повлекло за собои возник— новение связанной с самим понятием аксиоматического метода г}зорм альной (аксиоматической) теории, на основе которой выросла теорн я доказательств ( 122). Аксиомати— ка, традиционно изучаемая в школе, была разработана Д. Ги ль6ертом и описана в “Ос новани ях reo мет рии” (1899 г.). Аксиоматик а включает пять rpyпп аксиом (118). Принадлежность предложения к некоторой математи— ческой теории определяется двумя признаками (7): предложение сформулировано или записано на языке данной теории, состоит из математических и логіІческих (принадлежащих языку теории) терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов; предложение истинно в силу того, что оно является исходным истинным предложением в данной теоригІ (ак— сиомой), гтли его истинность доказывается (используются исходные или ранее доказанные истинные предложения). Например, рассмотрим математическое предложение: “Сумма углов треугольника равна 180”’. Данное предложе- ние а) общеутвердительное, геометрическое, принадлежит теории евклидовой геометрии, так как сформулировано на языке геометрии (состоит из геометричееких терминов: сумма углов, треугольник, 180", и логических терминов: любой, равна); 6) истинно, т. е. доказывается в рамках евклидовой геометрии. В формулировках часто опускается слово “любой”, хотя этот квантор значим, и предложение должно быть следую- щим: “Сумма углов любого треугольника равна 180”’. Кванторы играют в математике важную роль, они влияют в определенной мере на выбор способа доказательства, поэто- му целесообразно при работе с теоремой обратить внимание учащихся на вид суждения и выделить кванторные слова. Умозаключение. Дедуктивное умозаключение Одной из форм мышления является умозаключение, познавательное зиачение которого особенное. Обучение учащихся умозаключению и правильным вы- водам является главным методическим вопросом обучения всех школьных предметов. 8десь существенное значение имеет обучение математике, так как при изучении и усвое- нии новых материалов на каждом этапе приходится делать умозаключение и выводы. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|